《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

12. 新考向 真实情境 (2024·贵港港南区期中)火钳是铁制夹取柴火的工具，有保洁员拿它拾捡地面垃圾使用，图 1 是火钳实物图，图 2 是其示意图. 已知火钳打开最大时，两钳臂 $OC$，$OD$ 的夹角 $\angle COD = 40^{\circ}$. 若 $OC = OD = 40cm$，求两钳臂端点 $C$，$D$ 的距离.（结果精确到 $1cm$. 参考数据：$\sin 70^{\circ} \approx 0.94$，$\cos 70^{\circ} \approx 0.34$，$\tan 70^{\circ} \approx 2.75$）
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答案： 解:连接CD,过点O作OE$\perp$CD,垂足为E.$\because OC=OD=40\ cm$,$\angle COD=40^{\circ}$,$\therefore\angle C=\angle D=70^{\circ}$,$CD=2CE$.在$Rt\triangle OCE$中,$CE=OC\cdot\cos70^{\circ}\approx40×0.34=13.6(cm)$,$\therefore CD=2CE\approx27\ cm$.
答:两钳臂端点C,D的距离约为27 cm.

13. 新考向 数学文化 (2024·江西)将如图 1 所示的七巧板拼成如图 2 所示的四边形 $ABCD$，连接 $AC$，则 $\tan\angle CAB =$$\frac{1}{2}$.

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答案： $\frac{1}{2}$

14. 新考向 传统文化 (2024·贵港平南县期中)桔槔，亦叫“桔皋”，我国古代井上汲水的工具. 它是在井旁架上设一杠杆，杠杆上竹竿一端 $A$ 处系绳子，绳子另一端悬绑汲器，竹竿另一端 $B$ 处绑石块等重物，用不大的力量即可将灌满水的汲器提起，桔槔的使用体现了我国古代劳动人民的智慧. 如图，这是《天工开物·水利》中的桔槔图，若竹竿 $A$，$B$ 两处的距离为 $2m$，当汲器伸到井口时，绳子受重力作用垂直于水平面，此时竹竿 $AB$ 与绳子的夹角为 $53^{\circ}$，则绑重物的 $B$ 端与悬绑汲器的绳子之间的距离约为1.6 $m$.(忽略提水时竹竿产生的形变，参考数据：$\sin 53^{\circ} \approx 0.8$，$\cos 53^{\circ} \approx 0.6$，$\tan 53^{\circ} \approx 1.3$)
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答案： 1.6

15. 新考向 真实情境 (2023·贵港桂平市期中)被誉为“天下第一塔”的某地铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十种图案，它历经战火、水患、地震等灾害，依然屹立. 某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量铁塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量.
请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求铁塔的高度（结果精确到 $0.1$ 米. 参考数据：$\sin 58^{\circ} \approx 0.85$，$\cos 58^{\circ} \approx 0.53$，$\tan 58^{\circ} \approx 1.60$）

答案： 解:延长FD交AB于点G,则$\angle AGF=90^{\circ}$.由题意,得$DF=CE=20\ 米$,$CD=EF=1.3\ 米$,$\angle AFG=45^{\circ}$,$\therefore\triangle AFG$是等腰直角三角形.$\therefore AG=FG$.设$DG=x$,则$AG=20+x$.在$Rt\triangle ADG$中,$\angle ADG=58^{\circ}$,$\tan\angle ADG=\frac{AG}{DG}$,$\therefore\frac{20+x}{x}\approx1.6$,解得$x\approx33.33$.$\therefore AG=33.33+20=53.33(米)$.$\therefore AB=AG+BG=53.33+1.3\approx54.6(米)$.
答:铁塔的高度约为54.6米.