《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. (2022·贵港)如图,直线 $ AB $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 的图象相交于点 $ A $ 和点 $ C(3,2) $,与 $ x $ 轴的正半轴相交于点 $ B $.
(1)求 $ k $ 的值;
(2)连接 $ OA,OC $,若点 $ C $ 为线段 $ AB $ 的中点,求 $ \triangle AOC $ 的面积.
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答案： 11.解:
(1)
∵点C(3,2)在反比例函数y=k/x的图象上,
∴k/3=2,解得k=6.
(2)
∵点C(3,2)是线段AB的中点,
∴易证点A的纵坐标为4.
∴点A的横坐标为6/4=3/2.
∴点A的坐标为(3/2,4).设直线AC的表达式为y=ax+b,则{3/2 a+b=4,3a+b=2,解得{a=-4/3,b=6.
∴直线AC的表达式为y=-4/3 x+6.
∵当y=0时,x=9/2,
∴OB=9/2.
∴S△AOC=1/2 S△AOB=1/2×1/2×9/2×4=9/2.

12. 新考向 真实情境 (2024·贵港港南区模拟)图 1 是一盏亮度可调节的台灯,通过调节总电阻 $ R $ 来控制电流 $ I $ 实现灯光亮度的变化.电流 $ I(A) $ 与电阻 $ R(\Omega) $ 之间的函数关系如图 2 所示.下列结论正确的是 (D)

A.$ I = \frac{200}{R} $
B.当 $ I ＞ 10 $ 时, $ R ＞ 22 $
C.当 $ I = 5 $ 时, $ R = 40 $
D.当 $ I ＞ 2 $ 时, $ 0 ＜ R ＜ 110 $

答案： D

13. (2023·贵港港北区模拟)如图,这是某公园“水上滑梯”的侧面图,其中 $ BC $ 段可看成是一段双曲线,建立如图所示的平面直角坐标系.已知矩形 $ AOEB $ 为向上攀爬的梯子, $ OA = 5 $ 米,进口 $ AB // OD $,且 $ AB = 2 $ 米,出口 $ C $ 点距水面的距离 $ CD $ 为 1 米,则 $ B,C $ 之间的水平距离 $ DE $ 的长度为 (D)

A.5 米
B.6 米
C.7 米
D.8 米

答案： D

14. 新考向 跨学科 (2024·南宁银海三雅模拟)寓言故事:青年用木柴烧水时,由于木柴不足,水没有烧开,重新找木柴的时间水已变凉,而新找的木柴也不够将水重新烧开,很是气馁.路过的智者提醒他,木柴不够,可以将水倒掉一部分.青年听后,茅塞顿开,把水烧开了.智者的话蕴含一定道理,根据物理学公式 $ Q = cm\Delta t $ ( $ Q $ 表示寓言故事中水吸收的总热量, $ c $ 表示水的比热容,为常数, $ m $ 表示水的质量, $ \Delta t $ 表示水的温差),得 $ \Delta t = \frac{Q}{cm} $.智者的话可解释为:当木柴质量确定时,提供给水吸收的总热量 $ Q $ 随之确定, $ \frac{Q}{c} $ 为定值,水上升的温度 $ \Delta t(^{\circ}C) $ 与水的质量 $ m(kg) $ 成反比例.
(1)若现有木柴可以将 $ 3kg $ 温度为 $ 25^{\circ}C $ 的水加热到 $ 75^{\circ}C $,请求出这种情形下 $ \frac{Q}{c} $ 的值及 $ \Delta t $ 关于 $ m $ 的反比例函数的表达式;
(2)在(1)的情形下,现有的木柴可将多少千克温度为 $ 25^{\circ}C $ 的水加热到 $ 100^{\circ}C $?

答案： 14.解:
(1)根据题意,得Δt=Q/(cm).
∵将3 kg温度为25℃的水加热到75℃,
∴m=3 kg,Δt=75-25=50(℃).
∴50=Q/(3c).
∴Q/c=150.
∴Δt=150/m.
∴Q/c的值为150,Δt关于m的反比例函数的表达式为Δt=150/m.
(2)
∵将25℃的水加热到100℃,
∴Δt=100-25=75(℃).
∴75=150/m,解得m=2.
∴现有的木柴可将2 kg温度为25℃的水加热到100℃.