《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 若 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的两个根，则 $ x_{1}x_{2} $ 的值是 （ ）

A.2
B.$-2$
C.4
D.$-3$

答案： D

2. 若 $ x_{1},x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2}+10x + 16 = 0 $ 的两个根，则 $ x_{1}+x_{2} $ 的值是 （ ）

A.$-10$
B.10
C.$-16$
D.16

答案： A

3. (2023·遂宁) 若 $ a,b $ 是一元二次方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的两个实数根，则代数式 $ a + b - ab $ 的值为2。

答案： 2

4. (2022·贵港) 若 $ x = -2 $ 是一元二次方程 $ x^{2}+2x + m = 0 $ 的一个根，则方程的另一个根及 $ m $ 的值分别是 (B)

A.0，$-2$
B.0，0
C.$-2$，$-2$
D.$-2$，0

答案： B

5. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+px + q = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1}=2,x_{2}=-1 $，那么 $ p,q $ 的值分别是 (B)

A.1，$-2$
B.$-1$，$-2$
C.$-1$，2
D.1，2

答案： B

6. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-kx + k - 3 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5 $，则 $ k $ 的值是 (D)

A.$-2$
B.2
C.$-1$
D.1

答案： D

7. (2023·岳阳) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2 $，则 $ m = $3。

答案： 3

8. (2024·绥化) 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 $-2$ 和 $-5$。则原来的方程是 (B)

A.$ x^{2}+6x + 5 = 0 $
B.$ x^{2}-7x + 10 = 0 $
C.$ x^{2}-5x + 2 = 0 $
D.$ x^{2}-6x - 10 = 0 $

答案： B

9. 【整体思想】(2024·贵港港南区期中) 已知方程 $ x^{2}-5x - 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}^{2}-4x_{1}+x_{2}+8 = $15。

答案： 15

10. (2024·内江) 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-px + 1 = 0 $($ p $ 为常数)有两个不相等的实数根 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $。
(1) 填空：$ x_{1}+x_{2}= $p，$ x_{1}x_{2}= $1；
(2) 求 $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}} $；
(3) 已知 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1 $，求 $ p $ 的值。

答案： 10.解:
(1)p 1
(2)
∵x₁+x₂=p,x₁x₂=1,
∴$\frac{1}{x₁}+\frac{1}{x₂}=\frac{x₂+x₁}{x₁x₂}=\frac{p}{1}=p$.
∵$x₁²-px₁+1=0$,
∴$x₁-p+\frac{1}{x₁}=0$,即$x₁+\frac{1}{x₁}=p$.
(3)
∵$x₁²+x₂²=2p+1$,
∴$x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=p²-2=2p+1$.解得p₁=3,p₂=-1.当p=3时,Δ=p²-4=9-4=5＞0;当p=-1时,Δ=p²-4=-3＜0.
∴p=3.

11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $。
(1) 若方程有实数根，求实数 $ m $ 的取值范围；
(2) 若方程的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $，且满足 $ 5x_{1}+2x_{2}=2 $，求实数 $ m $ 的值。

答案： 11.解:
(1)
∵方程有实数根,
∴Δ=(-4)²-4m=16-4m≥0,解得m≤4.
(2)
∵x₁+x₂=4,
∴5x₁+2x₂=2(x₁+x₂)+3x₁=2×4+3x₁=2.
∴x₁=-2.把x=-2代入原方程,得(-2)²-4×(-2)+m=0,解得m=-12.