《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. (2024·河南) 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为$OC$的中点，$EF // AB$交$BC$于点$F$. 若$AB = 4$，则$EF$的长为(B)


A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\frac{4}{3}$
D.$2$

答案： B

10. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，点$G$在线段$AD$上，$GE // BD$，且交$AB$于点$E$，$GF // AC$，且交$CD$于点$F$，则下列结论一定正确的是(D)


A.$\frac{FC}{CD} = \frac{AG}{GD}$
B.$\frac{FC}{CD} = \frac{GF}{AC}$
C.$\frac{FC}{CD} = \frac{BE}{AB}$
D.$\frac{FC}{CD} = \frac{EG}{BD}$

答案： D

11. 如图，已知四边形$BDFE$是菱形，$DC = \frac{1}{2}BD$，且$DC = 4$，求$AE$的长.

答案： 解:
∵$DC=\frac{1}{2}BD$,且DC=4,
∴BD=8,BC=12.
∵四边形BDFE是菱形,
∴BE=EF=FD=BD=8,EF//BD.
∴△AEF∽△ABC.
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{BC}$,即$\frac{AE}{AE+8}=\frac{8}{12}$.
∴AE=16.

12. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 8$. 在$BC$的延长线上取一点$E$，使$CE = \frac{1}{3}BC$，连接$AE$，$AE$与$CD$交于点$F$.
(1) 求证：$\triangle ADF \backsim \triangle ECF$；
(2) 求$DF$的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,即AD//BE.
∴△ADF∽△ECF.
(2)
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD=8.
∵$CE=\frac{1}{3}BC$,
∴$CE=\frac{1}{3}AD$,即$\frac{AD}{CE}=3$.
∵△ADF∽△ECF,
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{DF}{CF}$,即$\frac{DF}{CF}=3$.
∵CD=DF+CF,
∴$DF=\frac{3}{4}CD=6$.

13. 如图，$AD // EG // BC$，$EG$分别交$AB$，$DB$，$AC$于点$E$，$F$，$G$. 已知$AD = 6$，$BC = 10$，$AE = 3$，$AB = 5$，求$EG$，$FG$的长.

答案： 解:
∵在△ABC中,EG//BC,
∴△AEG∽△ABC.
∴$\frac{EG}{BC}=\frac{AE}{AB}$.
∵BC=10,AE=3,AB=5,
∴$\frac{EG}{10}=\frac{3}{5}$.
∴EG=6.
∵在△BAD中,EF//AD,
∴△BEF∽△BAD.
∴$\frac{EF}{AD}=\frac{BE}{AB}$.
∵AD=6,AE=3,AB=5,
∴$\frac{EF}{6}=\frac{5-3}{5}$.
∴$EF=\frac{12}{5}$.
∴$FG=EG-EF=\frac{18}{5}$.