《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. (2023·攀枝花)如图,$AB$ 为 $\odot O$ 的直径,如果圆上的点 $D$ 恰好使 $\angle ADC=\angle B$. 求证:直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切.

答案： 证明:连接 OD.
∵ OA=OD,
∴ ∠A=∠ODA.
∵ AB 为⊙O 的直径,
∴ ∠ADB=90°.
∴ ∠A+∠B=90°. 又
∵ ∠ADC=∠B,
∴ ∠ODA+∠ADC=90°,即∠CDO=90°.
∴ CD⊥OD. 又
∵ OD 是⊙O 的半径,
∴ 直线 CD 与⊙O 相切.

2. 如图,$C$ 是 $\odot O$ 上一点,点 $P$ 在直径 $AB$ 的延长线上,$\odot O$ 的半径为 $3$,$PB = 2$,$PC = 4$. 求证:$PC$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:连接 OC.
∵ ⊙O 的半径为 3,
∴ OC=OB=3. 又
∵ BP=2,
∴ OP=5.在△OCP 中,OC²+PC²=3²+4²=5²=OP²,
∴ △OCP 为直角三角形,∠OCP=90°.
∴ OC⊥PC. 又
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ PC 是⊙O 的切线.

3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与 $BC$ 相交于点 $E$,在 $AC$ 上取一点 $D$,使得 $DE = AD$. 求证:$DE$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:连接 OE,OD. 在△AOD 和△EOD 中,$\left\{\begin{array}{l} OA=OE,\\ DA=DE,\\ OD=OD,\end{array}\right. $
∴ △AOD≌△EOD(SSS).
∴ ∠OED=∠BAC=90°.
∴ OE⊥DE. 又
∵ OE 是⊙O 的半径,
∴ DE 是⊙O 的切线.

4. (2024·南宁银海三雅模拟)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$BA = BC$,以 $AB$ 为直径作 $\odot O$,交 $AC$ 于点 $D$,连接 $DB$,过点 $D$ 作 $DE\perp BC$,垂足为 $E$. 求证:
(1)$AD = CD$;
(2)$DE$ 为 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:
(1)
∵ AB 为⊙O 直径,
∴ ∠ADB=90°,即 BD⊥AC.
∵ BA=BC,
∴ AD=CD.
(2)连接 OD.
∵ AD=CD,AO=OB,
∴ OD 为△BAC 的中位线.
∴ OD//BC.
∵ DE⊥BC,
∴ OD⊥DE. 又
∵ OD 是⊙O 的半径,
∴ DE为⊙O 的切线.