《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

5. 用合适的方法解下列方程：
(1) $ 4(x - 3)^{2}-25(x - 2)^{2}=0 $；
(2) $ t^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}t + \frac{1}{8}=0 $。

答案： 5.解:
(1)原方程可化为$[2(x-3)]^{2}-[5(x-2)]^{2}=0$,即$(2x-6)^{2}-(5x-10)^{2}=0$.$\therefore (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)=0$,即$(7x-16)(-3x+4)=0$.$\therefore x_{1}=\dfrac{16}{7}$,$x_{2}=\dfrac{4}{3}$.
(2)方程两边都乘8,得$8t^{2}-4\sqrt{2}t+1=0$.$\because a=8$,$b=-4\sqrt{2}$,$c=1$,$b^{2}-4ac=(-4\sqrt{2})^{2}-4×8×1=0$.$\therefore t=\dfrac{-(-4\sqrt{2})±\sqrt{0}}{2×8}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.$\therefore t_{1}=t_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$.

6. 新考向 阅读理解【阅读材料】
为了解方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $，我们可以将 $ x^{2}-1 $ 看作一个整体，设 $ x^{2}-1 = y $，那么原方程可化为 $ y^{2}-5y + 4 = 0 $①，解得 $ y_{1}=1 $，$ y_{2}=4 $。
当 $ y = 1 $ 时，$ x^{2}-1 = 1 $，$ \therefore x^{2}=2 $。$ \therefore x = \pm\sqrt{2} $；
当 $ y = 4 $ 时，$ x^{2}-1 = 4 $，$ \therefore x^{2}=5 $。$ \therefore x = \pm\sqrt{5} $。
故原方程的解为 $ x_{1}=\sqrt{2} $，$ x_{2}=-\sqrt{2} $，$ x_{3}=\sqrt{5} $，$ x_{4}=-\sqrt{5} $。
解答问题：
【初步理解】
(1) 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
【简单应用】
(2) 请利用以上知识解方程：$ (x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4 = 0 $；
【综合应用】
(3) 请利用以上知识解方程：$ x^{4}-3x^{2}-4 = 0 $。

答案： 6.解:
(1)换元
(2)设$x^{2}+x=y$,则原方程化为$y^{2}-5y+4=0$.$\therefore (y-1)(y-4)=0$.解得$y_{1}=1$,$y_{2}=4$.当$y=1$时,$x^{2}+x=1$,即$x^{2}+x-1=0$,解得$x=\dfrac{-1±\sqrt{5}}{2}$;当$y=4$时,$x^{2}+x=4$,即$x^{2}+x-4=0$,解得$x=\dfrac{-1±\sqrt{17}}{2}$.综上所述,原方程的解为$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$,$x_{3}=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$,$x_{4}=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
(3)设$x^{2}=y$,则$y^{2}=x^{4}$,原方程化为$y^{2}-3y-4=0$,解此方程,得$y_{1}=4$,$y_{2}=-1$.$\because y≥0$,$\therefore y=4$.当$y=4$时,$x^{2}=4$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.