《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，则$\angle A$的正弦值可以表示为(C)

A.$\frac{AC}{AB}$
B.$\frac{AC}{BC}$
C.$\frac{BC}{AB}$
D.$\frac{BC}{AC}$

答案： C

2. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$AC = 8$，则$\sin A =$(A)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： A

3. (2024·贵港桂平市期中)在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$\sin B = \frac{1}{2}$，则$AB$的值为(B)

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： B

4. 如图，在平面直角坐标系内有一点$P(3,4)$，连接$OP$，则$OP$与$y$轴正方向所夹锐角$\alpha$的正弦值是(C)


A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： C

5. 把$\triangle ABC$三边的长度都扩大为原来的$3$倍，则锐角$A$的正弦值(A)

A.不变
B.缩小为原来的$\frac{1}{3}$
C.扩大为原来的$3$倍
D.不能确定

答案： A

6. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。若$c = 3b$，则$\angle B$的正弦值为$\frac{1}{3}$。

答案： $\frac{1}{3}$

7. （教材九上P111练习T1变式）分别求出图中$\angle A$，$\angle B$的正弦值。

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答案： 解:图1:$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4\sqrt{2}$,$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{3}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.图2:$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=2\sqrt{2}$,$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.

8. (2024·贵港桂平市期末)$\sin 30^{\circ}$的值是(A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案： A

9. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A:\angle B = 1:2$，则$\sin A =$$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

10. 【分类讨论思想】已知，正方形$ABCD$的边长为$2$，点$P$是直线$CD$上一点。若$DP = 1$，则$\sin\angle BPC$的值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{13}}{13}$。

答案： $\frac{2\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{13}}{13}$