《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. (2023·贵港桂平市期中)在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$BC = 8cm$，则 $\angle A$ 的正弦值是(B)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： B

2. (2023·贵港港南区期中)在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，若斜边 $AB$ 的长是直角边 $BC$ 长的 3 倍，则 $\tan B$ 的值是(D)

A.$\frac{1}{3}$
B.3
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： D

3. (2024·贵港港南区二模)计算：$\cos 30^{\circ} =$$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$

4. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle A$，$\angle B$ 均为锐角，且有 $|\tan^{2}B - 3| + (2\sin A - \sqrt{3})^{2} = 0$，则 $\triangle ABC$ 的形状是等边三角形.

答案： 等边三角形

5. (2024·贵港平南县期中)在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，如果 $\sin A = \cos A$，那么 $\angle A$ 的度数是(C)

A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： C

6. (2024·广西大学附中期中)计算：$|\sqrt{3} - 1| + (2022 - \pi)^{0} + (\frac{1}{2})^{-1} - \tan 60^{\circ}$.

答案： 解:原式=$\sqrt{3}-1+1+2-\sqrt{3}=2$.

7. (2024·临夏州)如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$\sin B = \frac{4}{5}$，则 $BC$ 的长是(B)

A.3
B.6
C.8
D.9

答案： B

8. 如图所示，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$CD = 8$，连接 $AC$，$AC\perp CD$. 若 $\cos\angle CAB = \frac{1}{3}$，则 $AD$ 的长是10.

答案： 10

9. (2024·贵港桂平市期中)如图，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle C = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{2}{5}$，$D$ 为 $AC$ 上一点，$\angle BDC = 45^{\circ}$，$DC = 6$.
(1)求 $AB$ 的长；
(2)求 $\triangle ABC$ 的面积.
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答案： 解:
(1)$\because\angle C=90^{\circ}$,$\angle BDC=45^{\circ}$,$\therefore\angle BDC=\angle DBC=45^{\circ}$.$\therefore DC=BC=6$.又$\because\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$,$\therefore AB=15$.
(2)$\because\angle C=90^{\circ}$,$AB=15$,$BC=6$,$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{15^{2}-6^{2}}=3\sqrt{21}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×3\sqrt{21}×6=9\sqrt{21}$.

10. 新考向 真实情境 (2024·广西大学附中月考)如图所示的是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段 $AB$. 已知斜坡 $AB$ 的坡比接近 $3:4$，坡长 $AB$ 为 $n$ 米，则斜坡 $AB$ 的铅垂高度 $AH$ 约为(D)


A.$\frac{n}{3}$ 米
B.$\frac{\sqrt{7}n}{7}$ 米
C.$\frac{4n}{5}$ 米
D.$\frac{3n}{5}$ 米

答案： D

11. (2023·广西)如图，焊接一个钢架，包括底角为 $37^{\circ}$ 的等腰三角形外框和 $3m$ 高的支柱，则共需钢材约21 $m$.(结果取整数. 参考数据：$\sin 37^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 37^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 37^{\circ} \approx 0.75$)
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答案： 21