《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. 在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$a:b = 3:4$，运用计算器计算，$\angle A$ 的度数(精确到 $1^{\circ}$)为(B)

A.$30^{\circ}$
B.$37^{\circ}$
C.$38^{\circ}$
D.$39^{\circ}$

答案： B

10. 已知 $\alpha$ 为锐角，且 $\sin(\alpha - 10^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\alpha$ 等于(C)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： C

11. 菱形 $OABC$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，$\angle AOC = 45^{\circ}$，$OC = \sqrt{2}$，则点 $B$ 的坐标为(C)

A.$(\sqrt{2},1)$
B.$(1,\sqrt{2})$
C.$(\sqrt{2}+1,1)$
D.$(1,\sqrt{2}+1)$
]

答案： C

12. 已知 $\angle A$ 为锐角，下列结论：
① $\sin A＞0$；② 若 $\angle A＞45^{\circ}$，则 $\frac{\sqrt{2}}{2}＜\sin A＜1$；③ $\sqrt{(1 - \sin A)^{2}} = 1 - \sin A$。
其中正确的有(D)

A.$0$ 个
B.$1$ 个
C.$2$ 个
D.$3$ 个

答案： D

13. 已知 $\angle A$，$\angle B$ 是 $\triangle ABC$ 中的两个锐角，且 $(\sin A - \frac{1}{2})^{2}+|\sin B - \frac{\sqrt{2}}{2}| = 0$，求 $\angle C$ 的度数。

答案： 由非负数的性质，得$\begin{cases} \sin A-\frac{1}{2}=0, \\ \sin B-\frac{\sqrt{2}}{2}=0, \end{cases}$$\therefore\sin A=\frac{1}{2}$,$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\because\angle A,\angle B$为$\triangle ABC$的两个锐角,$\therefore\angle A=30^{\circ}$,$\angle B=45^{\circ}$.$\therefore\angle C=105^{\circ}$.

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，点 $D$ 在 $AC$ 上，已知 $\angle BDC = 45^{\circ}$，$BD = 10\sqrt{2}$，$AB = 20$。求 $\angle A$ 的度数。
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答案： 在$Rt\triangle BDC$中,$BC=BD\cdot\sin\angle BDC=10\sqrt{2}×\sin45^{\circ}=10$.在$Rt\triangle ABC$中,$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore\angle A=30^{\circ}$.

15. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作 $S_{\triangle ABC}$，小颖画的三角形面积记作 $S_{\triangle DEF}$，那么你认为哪个三角形的面积大？
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答案： 分别过点$A,D$作$AG\perp BC$,$DH\perp EF$,垂足分别为$G,H$.在$Rt\triangle ABG$中,$AG=AB\cdot\sin B=5\sin50^{\circ}$.在$Rt\triangle DHE$中,$\angle DEH=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$,$DH=DE\cdot\sin\angle DEH=5\sin50^{\circ}$.$\therefore AG=DH$. $\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AG$,$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}EF\cdot DH$,$BC=4$,$EF=4$,$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEF}$.