《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

【例】二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象如图所示，对称轴是直线 $ x = 1 $，根据函数图象用“$ ＞ $”“$ ＜ $”“$\geqslant$”“$\leqslant$”或“$ =$”填空.

(1)根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
①$ a $＜$ 0 $，$ b $＞$ 0 $，$ c $＞$ 0 $；
(2)$ b^{2}-4ac $ 类：
②$ b^{2}-4ac $＞$ 0 $；
(3)$ -\dfrac{b}{2a},2a + b $ 类：
③$ -\dfrac{b}{2a} $＞$ 0 $；④$ 2a + b $=$ 0 $；
(4)当 $ x = \pm1,\pm2 $ 类：
⑤$ a + b + c $＞$ 0 $，$ a - b + c $＜$ 0 $；
⑥$ 4a + 2b + c $＞$ 0 $，$ 4a - 2b + c $＜$ 0 $；
(5)最值：
⑦$ a + b + c $≥$ am^{2}+bm + c $($ m $ 为任意实数).

答案： ①＜ ＞ ＞ ②＞ ③＞ ④= ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥

1. (2024·甘孜州)二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a＞0) $ 的图象如图所示，给出下列结论：①$ c ＜ 0 $；②$ -\dfrac{b}{2a}＞0 $；③当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ y ＜ 0 $. 其中所有正确结论的序号是(D)

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

答案： D

2. (2023·贵港覃塘区一模)已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的顶点坐标为 $ (-1,n) $，其部分图象如图所示，则以下结论错误的是(B)

A.$ abc＞0 $
B.该二次函数的图象经过点 $ (-2,-c) $
C.当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c = n + 1 $ 无实数根

答案： B

3. 如图，函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象的顶点为 $ (-\dfrac{3}{2},m) $，则 $ ab $＞$ 0 $；$ b - 3a $=$ 0 $；$ b^{2}-4ac $＞$ 0 $；$ a + b + c $＜$ 0 $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).

答案： ＞ = ＞ ＜

4. 如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象开口向上，图象经过点 $ (-1,2) $ 和 $ (1,0) $ 且与 $ y $ 轴交于负半轴，则 $ c $＜$ 0 $；$ abc $＞$ 0 $；$ 2a + b $＞$ 0 $；$ 4a - 2b + c $＞$ 0 $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： ＜ ＞ ＞ ＞

5. (2023·贵港港南区模拟)如图，这是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a,b,c $ 是常数，$ a\neq0) $ 图象的一部分，与 $ x $ 轴的交点 $ A $ 在点 $ (2,0) $ 和 $ (3,0) $ 之间，对称轴是直线 $ x = 1 $，对于下列说法：①$ \dfrac{b^{2}-4ac}{4a}＜0 $；②$ 2a + b = 0 $；③$ 3a + c＞0 $；④$ a + b\geqslant m(am + b) $($ m $ 为实数)；⑤当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ y＞0 $. 其中正确的有①②④(填序号).

答案： ①②④