《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

6. 如图，一艘船由 $ A $ 港沿北偏东 $ 65^{\circ} $ 方向航行 $ 30\sqrt{2} \mathrm{~km} $ 至 $ B $ 港，然后再沿北偏西 $ 40^{\circ} $ 方向航行至 $ C $ 港，$ C $ 港在 $ A $ 港北偏东 $ 20^{\circ} $ 方向，则 $ A $，$ C $ 两港之间的距离为(B)

A.$ (30 + 30\sqrt{3})\mathrm{km} $
B.$ (30 + 10\sqrt{3})\mathrm{km} $
C.$ (10 + 30\sqrt{3})\mathrm{km} $
D.$ 30\sqrt{3} \mathrm{~km} $

答案： B

7. （2024·泸州）如图，海中有一个小岛 $ C $，某渔船在海中的点 $ A $ 测得小岛 $ C $ 位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达点 $ B $，测得小岛 $ C $ 位于北偏西 $ 30^{\circ} $ 方向上，再沿北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向继续航行一段时间后到达点 $ D $，这时测得小岛 $ C $ 位于北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向上. 已知 $ A $，$ C $ 相距 $ 30 \mathrm{n} $ mile. 求 $ C $，$ D $ 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.

答案： 解:过点 C 作$CE\perp AB$于点 E.由题意,得$\angle CAE=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$,$\angle ECB=30^{\circ}$,$\angle ECD=60^{\circ}$,$\therefore \triangle CAE$是等腰直角三角形.$\because AC=30$ n mile,$\therefore AE=CE=AC\cdot \cos45^{\circ}=15\sqrt{2}$ n mile.在$Rt\triangle BCE$中,$BC=\frac{CE}{\cos30^{\circ}}=10\sqrt{6}$ n mile.在$\triangle BCD$中,$\angle CBD=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,$\angle DCB=\angle ECD-\angle ECB=30^{\circ}$.在$Rt\triangle BCD$中,$CD=\frac{BC}{\cos30^{\circ}}=20\sqrt{2}$ n mile.
答:C,D 间的距离为$20\sqrt{2}$ n mile.

8. 如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道 $ AB $，栈道 $ AB $ 与景区道路 $ CD $ 平行. 在 $ C $ 处测得栈道一端 $ A $ 位于北偏西 $ 42^{\circ} $ 方向，在 $ D $ 处测得栈道另一端 $ B $ 位于北偏西 $ 32^{\circ} $ 方向. 已知 $ CD = 120 \mathrm{~m} $，$ BD = 80 \mathrm{~m} $，求木栈道 $ AB $ 的长度.（结果保留整数，参考数据：$ \sin 32^{\circ} \approx \frac{17}{32} $，$ \cos 32^{\circ} \approx \frac{17}{20} $，$ \tan 32^{\circ} \approx \frac{5}{8} $，$ \sin 42^{\circ} \approx \frac{27}{40} $，$ \cos 42^{\circ} \approx \frac{3}{4} $，$ \tan 42^{\circ} \approx \frac{9}{10} $）

答案： 解:过点 C 作$CE\perp AB$于点 E,过点 D 作$DF\perp AB$交 AB 的延长线于点F,则$CE// DF$.$\because AB// CD$,$\therefore$四边形 CDFE 是矩形.$\therefore EF=CD=120$ m,$DF=CE$.在$Rt\triangle BDF$中,$\angle BDF=32^{\circ}$,$BD=80$ m,$\therefore DF=\cos32^{\circ}\cdot BD\approx 80× \frac{17}{20}=68$(m),$BF=\sin32^{\circ}\cdot BD\approx 80× \frac{17}{32}=\frac{85}{2}$(m).$\therefore BE=EF-BF=\frac{155}{2}$ m.在$Rt\triangle ACE$中,$\angle ACE=42^{\circ}$,$CE=DF=68$ m,$\therefore AE=CE\cdot \tan42^{\circ}\approx 68× \frac{9}{10}=\frac{306}{5}$(m).$\therefore AB=AE+BE=\frac{155}{2}+\frac{306}{5}\approx 139$(m).
答:木栈道 AB 的长度约为 139 m.