《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

12. 在 $ \triangle ABC $ 中，若 $ \sin A = \cos B = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $，则下列最确切的结论是(C)

A.$ \triangle ABC $ 是直角三角形
B.$ \triangle ABC $ 是等腰三角形
C.$ \triangle ABC $ 是等腰直角三角形
D.$ \triangle ABC $ 是锐角三角形

答案： C

13. (1)若 $ \alpha $ 为锐角，则 $ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = $1；
(2)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 为边 $ AB $ 的中点，连接 $ CD $。若 $ BC = 4 $，$ CD = 3 $，则 $ \cos \angle DCB $ 的值为$\frac{2}{3}$。

答案：
(1)1
(2)$\frac{2}{3}$

14. 如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ BC = 5 $，$ CD \perp AB $ 于点 $ D $，$ AC = 12 $，试求：
（1）$ \sin A $ 的值；
（2）$ \cos \angle ACD $ 的值；
（3）$ CD $ 的值。

答案： 解：
(1)由$BC=5,AC=12$,得$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=13,\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$.
(2)$\cos \angle ACD=\sin A=\frac{5}{13}$.
(3)$\because \sin A=\frac{CD}{AC},\therefore CD=AC\cdot \sin A=12× \frac{5}{13}=\frac{60}{13}$.或由面积公式,得$\frac{13CD}{2}=\frac{5× 12}{2}$,得$CD=\frac{60}{13}$.

15. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ AC = 6 $，$ \angle C = 75^{\circ} $，$ \angle B = 45^{\circ} $，求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 解：过点C作$CD\perp AB$于点D. $\because \angle C=75^{\circ},\angle B=45^{\circ},\therefore \angle A=60^{\circ}$.在$Rt\triangle ACD$中,$AD=AC\cdot \cos 60^{\circ}=3,CD=AC\cdot \sin 60^{\circ}=3\sqrt{3}$.又$\because \angle BCD=90^{\circ}-\angle B=45^{\circ},\therefore CD=BD=3\sqrt{3}$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}× (3\sqrt{3}+3)× 3\sqrt{3}=\frac{27}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

16. 新考向 综合与实践【综合与探究】
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ \angle A $，$ \angle B $，$ \angle C $ 的对边分别为 $ a $，$ b $，$ c $。
【解决问题】
（1）若 $ a = 5 $，$ b = 10 $，求 $ \sin A $，$ \cos A $，$ \sin B $，$ \cos B $；
（2）若 $ b = 3 $，$ c = 3 \sqrt{2} $，求 $ \sin A $，$ \cos A $，$ \sin B $，$ \cos B $；
【规律探究】
（3）通过（1）（2）我们不难发现有这样一个规律：$ \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 $。请利用所学过的知识来证明这一规律；
【迁移运用】
（4）试解决下列问题：
求 $ \sin^{2} 1^{\circ} + \sin^{2} 2^{\circ} + \sin^{2} 3^{\circ} + \cdots + \sin^{2} 89^{\circ} $ 的值。

答案： 解：
(1)由勾股定理,得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5\sqrt{5},\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos A=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{5}}{5},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{2\sqrt{5}}{5},\cos B=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2)由勾股定理,得$a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=3,\therefore \sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin B=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos B=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)证明：$\because a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore \sin^{2} A+\cos^{2} A=\left(\frac{a}{c}\right)^{2}+\left(\frac{b}{c}\right)^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2}}=1$.$\therefore \sin^{2} A+\cos^{2} A=1$.
(4)由
(3)知,$\sin^{2} A+\cos^{2} A=1,\therefore$原式$=\sin^{2} 1^{\circ}+\sin^{2} 2^{\circ}+\sin^{2} 3^{\circ}+\cdots+\sin^{2} 45^{\circ}+\cos^{2} 44^{\circ}+\cos^{2} 43^{\circ}+\cdots+\cos^{2} 2^{\circ}+\cos^{2} 1^{\circ}=(\sin^{2} 1^{\circ}+\cos^{2} 1^{\circ})+(\sin^{2} 2^{\circ}+\cos^{2} 2^{\circ})+(\sin^{2} 3^{\circ}+\cos^{2} 3^{\circ})+\cdots+(\sin^{2} 44^{\circ}+\cos^{2} 44^{\circ})+\sin^{2} 45^{\circ}=1+1+\cdots+1+\frac{1}{2}=44+\frac{1}{2}=\frac{89}{2}$.