《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. 新考向 真实情境 图 1 是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图 2 所示，此时液面$AB=$(C)

A.$1$cm
B.$2$cm
C.$3$cm
D.$4$cm

答案： C

10. 新考向 几何直观 如图，直线$l_1$，$l_2$，$\cdots$，$l_6$是一组等距离的平行线，过直线$l_1$上的点$A$作两条射线，分别与直线$l_3$，$l_6$相交于点$B$，$E$和$C$，$F$.若$BC = 2$，则$EF$的长是5.

答案： 5

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$上的点，$DE // BC$，$CF$，$EG$分别是$\triangle ABC$与$\triangle ADE$的中线.已知$AD:DB = 4:3$，$AB = 18$cm，$EG = 4$cm，则$CF$的长为7cm.

答案： 7

12. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，$AF$平分$\angle BAC$交$DE$于点$G$.若$AE = 3$，$EC = 1$，$AD = 2$，$BD = 4$，则$AG:AF$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

13. 如图，要在一张三角形纸片$ABC$上截取正方形$DEFG$模型，其中点$G$，$F$在边$BC$上，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$AH \perp BC$交$DE$于点$M$.若$BC = 12$cm，$AH = 8$cm，求正方形$DEFG$的边长.

答案： 解：设正方形DEFG的边长为x cm，则AM=AH-HM=(8-x)cm.
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴$\frac{AM}{AH}=\frac{DE}{BC}$，即$\frac{8-x}{8}=\frac{x}{12}$，解得x=4.8.答：正方形DEFG的边长为4.8 cm.

14. 如图，$CD$是$Rt \triangle ABC$斜边$AB$上的高，$DE \perp AC$，$DF \perp BC$，垂足分别为$E$，$F$.已知$AC = 8$，$BC = 6$.
(1) 求$\frac{DF}{DE}$的值；
(2) 求四边形$DECF$的面积.

答案： 解：
(1)
∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB.
∴∠B=∠ACD.
∴△ACD∽△CBD.又
∵DF⊥BC，DE⊥AC，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{BC}{CA}$.又
∵BC=6，AC=8，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{BC}{CA}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
(2)由
(1)可知，$\frac{DF}{DE}=\frac{3}{4}$，设DF=3x，则DE=4x.
∴$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}×8×4x=16x$，$S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BC\cdot DF=\frac{1}{2}×6×3x=9x$.又
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
∴16x+9x=24，解得$x=\frac{24}{25}$.
∴$S_{四边形DECF}=DE\cdot DF=4x\cdot3x=12x^{2}=12×\left(\frac{24}{25}\right)^{2}=\frac{6912}{625}$.