《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

13. 【整体思想】如图，$ BC $ 是半圆 $ O $ 的直径，$ D $，$ E $ 是 $ \overset{\frown}{BC} $ 上两点，连接 $ BD $，$ CE $ 并延长相交于点 $ A $，连接 $ OD $，$ OE $. 如果 $ \angle A = 70^{\circ} $，那么 $ \angle DOE $ 的度数为(C)

A.$ 35^{\circ} $
B.$ 38^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 42^{\circ} $

答案： C

14. 如图，已知矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB = 6 $，$ BC = 8 $，现以点 $ A $ 为圆心作圆. 如果点 $ B $，$ C $，$ D $ 至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么 $ \odot A $ 半径 $ r $ 的取值范围是6＜r＜10.

答案： 6＜r＜10

15. 如图，在 $ \odot O $ 中，$ AB $ 为弦，点 $ C $，$ D $ 在 $ AB $ 上，且 $ AC = BD $，请问图中有几个等腰三角形？把它们分别写出来，并说明理由.

答案： 解:等腰三角形有两个,分别为$\triangle OAB$,$\triangle OCD$.理由:$\because OA=OB$,$\therefore \triangle OAB$是等腰三角形.$\therefore \angle A=\angle B$.又$\because AC=BD$,$OA=OB$,$\therefore \triangle OAC\cong \triangle OBD(SAS)$.$\therefore OC=OD$.$\therefore \triangle OCD$是等腰三角形.

16. 如图，正方形 $ ABCD $ 和正方形 $ CEFG $，点 $ A $，$ F $ 在半圆 $ O $ 上，点 $ B $，$ C $，$ E $ 在半圆 $ O $ 的直径上，$ AB = 5 $，$ FE = 4 $，求 $ OA $ 的长.

答案： 解:连接OF,由题意,得$BE=BC+CE=5+4=9$,且$AO=OF$.设$BO=x$,则$OE=9-x$,在$Rt\triangle AOB$中,$AO^{2}=BO^{2}+AB^{2}=x^{2}+25$,在$Rt\triangle EOF$中,$OF^{2}=OE^{2}+EF^{2}=(9-x)^{2}+16$.$\because AO=OF$,$\therefore x^{2}+25=(9-x)^{2}+16$,解得$x=4$.$\therefore OA=\sqrt{x^{2}+25}=\sqrt{41}$.

1. 如图，点 $ A $，$ B $，$ C $ 在 $ \odot O $ 上，$ \angle A = 36^{\circ} $，$ \angle C = 28^{\circ} $，则 $ \angle B = $64°.

答案： 64°

2. 如图，$ \odot O $ 的直径 $ AB $ 与弦 $ CD $ 的延长线相交于点 $ E $. 若 $ DE = OB $，$ \angle AOC = 84^{\circ} $，则 $ \angle E = $28°.

答案： 28°

3. 如图，点 $ D $，$ E $ 分别在 $ \triangle ABC $ 的边 $ BC $，$ AB $ 上，过 $ A $，$ C $，$ D $ 三点的圆的圆心为点 $ E $，以点 $ D $ 为圆心的圆过点 $ B $，$ E $. 如果 $ \angle A = 57^{\circ} $，那么 $ \angle ABC = $22°.

答案： 22°