《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ BC $，$ CD $，$ DA $ 是 $ \odot O $ 的弦，且 $ BC = CD = DA $，则 $ \angle BCD = $(C)


A.$ 100^{\circ} $
B.$ 110^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 135^{\circ} $

答案： C

11. 如图，已知 $ \overset{\frown}{AB} $，$ \overset{\frown}{CD} $ 是同圆的两段弧，且 $ \overset{\frown}{AB} = 2 \overset{\frown}{CD} $，则弦 $ AB $ 与 $ 2CD $ 之间的关系为 (B)

A.$ AB = 2CD $
B.$ AB ＜ 2CD $
C.$ AB ＞ 2CD $
D.不能确定

答案： B

12. 如图，$ A $，$ B $ 是半径为 $ 3 $ 的 $ \odot O $ 上的两点。若 $ \angle AOB = 120^{\circ} $，$ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点，则四边形 $ AOBC $ 的周长等于 。12

答案： 12

13. 如图，已知 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ M $，$ N $ 分别是 $ AO $，$ BO $ 的中点，$ CM \perp AB $，$ DN \perp AB $。求证：$ \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD} $。

答案： 证明:连接OC,OD,
∵AB是⊙O的直径,M,N分别是半径AO,BO的中点,
∴OM=ON.
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠OMC=∠OND=90°.在Rt△OMC和Rt△OND中,$\left\{\begin{array}{l} OM=ON,\\ OC=OD,\end{array}\right.$
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).
∴∠COM=∠DON.
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.

14. 如图，在 $ \odot O $ 中，$ AB $，$ CD $ 是两条弦，$ OE \perp AB $，$ OF \perp CD $，垂足分别为 $ E $，$ F $。
（1）如果 $ \angle AOB = \angle COD $，那么 $ OE $ 与 $ OF $ 的大小有什么关系？为什么？
（2）如果 $ OE = OF $，那么 $ \overset{\frown}{AB} $ 与 $ \overset{\frown}{CD} $ 的大小有什么关系？为什么？

答案： 解:
(1)OE=OF.理由如下:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,
∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠EOB=∠FOD.在△EOB和△FOD中,$\left\{\begin{array}{l} ∠OEB=∠OFD,\\ ∠EOB=∠FOD,\\ OB=OD,\end{array}\right.$
∴△EOB≌△FOD(AAS).
∴OE=OF.
(2)$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.理由如下:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,AO=BO,CO=DO,
∴∠OEB=∠OFD=90°.
∴E,F分别是AB,CD的中点.在Rt△BEO和Rt△DFO中,$\left\{\begin{array}{l} OB=OD,\\ OE=OF,\end{array}\right.$
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL).
∴BE=DF.
∵AB=2BE,CD=2DF,
∴AB=CD.
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.