《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. (2024·南宁三十五中月考)方程 $ 2x^{2}+\sqrt{3}x - 1 = 0 $ 的根的情况是 (A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2nx + n^{2} = 0 $ 的根的情况为 (C)

A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定

答案： C

3. 实数 $ a,b $ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx - 1 = 0 $ 的根的情况是 (B)


A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根

答案： B

4. (2024·徐州)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+kx + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ k $ 的值为±2.

答案： ±2

5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^{2}+3x - 1 = 0 $ 有实数根，则 $ k $ 的取值范围是 (D)

A.$ k\leqslant - \frac{9}{4} $
B.$ k\leqslant - \frac{9}{4} $ 且 $ k\neq 0 $
C.$ k\geqslant - \frac{9}{4} $
D.$ k\geqslant - \frac{9}{4} $ 且 $ k\neq 0 $

答案： D

6. 新考向 新定义问题 (2024·贵港港南区期中)对于实数 $ a,b $，定义运算“※”如下：$ a※b = b^{2}-ab $，例如：$ 3※2 = 2^{2}-3× 2 = - 2 $.若关于 $ x $ 的方程 $ 3※x = - m $ 没有实数根，则 $ m $ 的值可以是 (A)

A.3
B.2
C.1
D.0

答案： A

7. 新考向 推理能力 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x + m = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_{1},x_{2} $，则 (D)

A.$ x_{1}+x_{2}\lt 0 $
B.$ x_{1}x_{2}\lt 0 $
C.$ x_{1}x_{2}\gt - 1 $
D.$ x_{1}x_{2}\lt 1 $

答案： D

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx + m^{2}-3m + 3 = 0 $ 的两根互为倒数，则 $ m $ 的值等于 (B)

A.1
B.2
C.1 或 2
D.0

答案： B

9. 【分类讨论思想】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-6x + m + 4 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ x_{1},x_{2} $ 满足 $ 3x_{1}=\vert x_{2}\vert + 2 $，求 $ m $ 的值.

答案： 解:
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+m+4=0$有两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$,
∴$\Delta=(-6)^{2}-4(m+4)=20-4m\geq0$.解得$m\leq5$.
(2)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+m+4=0$有两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$,
∴$x_{1}+x_{2}=6$,①$x_{1}x_{2}=m+4$.②
∵$3x_{1}=|x_{2}|+2$,
∴$x_{1}＞0$.当$x_{2}\geq0$时,有$3x_{1}=x_{2}+2$,③联立①③,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=4$.
∴$8=m+4$.
∴$m=4$,满足$m\leq5$.当$x_{2}＜0$时,有$3x_{1}=-x_{2}+2$,④联立①④,解得$x_{1}=-2$,$x_{2}=8$(不合题意,舍去).
∴m的值为4.