《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 过 $(1,3)$，$(2,7)$ 和 $(3,13)$ 三点，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 的值分别是 (D)

A.$-1$，$-1$，$1$
B.$1$，$-1$，$-1$
C.$-1$，$-1$，$-1$
D.$1$，$1$，$1$

答案： D

2. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为 $y=x^{2}-2x-3$ 。

答案： $y=x^{2}-2x-3$

3. 如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点 $ A $，$ B $，$ C $，其中点 $ B $ 的坐标为 $(4,4)$，则该抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{1}{6}x^{2}+\dfrac{2}{3}x+4$ 。

答案： $y=-\dfrac{1}{6}x^{2}+\dfrac{2}{3}x+4$

4. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中 $ x $，$ y $ 的部分对应值如下表，则该二次函数的表达式为 $y=x^{2}-3x+1$ ，$ m $ 的值为 5 。

答案： $y=x^{2}-3x+1$ 5

5. （教材九下 P21 例 2 变式）已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，使它的图象经过这三个点？
(1) $ A(0,-1) $，$ B(1,2) $，$ C(-1,0) $；
(2) $ A(0,-1) $，$ B(1,2) $，$ C(-1,-4) $。

答案： 解:
(1)设二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象经过A,B,C三点,则$\begin{cases} c=-1, \\ a+b+c=2, \\ a-b+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=2, \\ b=1, \\ c=-1. \end{cases}$
∴二次函数$y=2x^{2}+x-1$的图象经过A,B,C三点.
(2)设二次函数$y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$的图象经过A,B,C三点,则$\begin{cases} c_{1}=-1, \\ a_{1}+b_{1}+c_{1}=2, \\ a_{1}-b_{1}+c_{1}=-4, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_{1}=0, \\ b_{1}=3, \\ c_{1}=-1. \end{cases}$
∴一次函数$y=3x-1$的图象经过A,B,C三点,这说明没有一个二次函数的图象经过A,B,C三点.

6. 已知二次函数的图象与 $ x $ 轴交点的横坐标分别是 $-1$ 和 $ 5 $，与 $ y $ 轴的交点坐标是 $(0,5)$，求该二次函数的表达式。

答案： 解:设该二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-5)$.把$(0,5)$代入,得$a(0+1)(0-5)=5$,解得$a=-1$.
∴该二次函数的表达式为$y=-(x+1)(x-5)$,即$y=-x^{2}+4x+5$.

7. （教材九下 P21 例 1 变式）已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ A(-1,-1) $，$ B(0,2) $，$ C(1,3) $。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 画出二次函数的图象。

答案： 解:
(1)依题意,得$c=2$,
∴$y=ax^{2}+bx+2$.把$A(-1,-1),C(1,3)$代入,得$\begin{cases} a-b+2=-1, \\ a+b+2=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2. \end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+2$.
(2)由
(1)得,$y=-x^{2}+2x+2=-(x-1)^{2}+3$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,3)$,即C为顶点.
∴二次函数的图象图略.