《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=6$,D 是 AC 的中点,E 是 BC 上一点,$BE=\frac {5}{2},∠AED=∠B$,则 CE 的长为$\frac{36}{5}$.

答案： $\frac{36}{5}$

13. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为边 DC 上一点,把$\triangle ADE$沿 AE 翻折,使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处.
(1)求证:$\triangle ABF\backsim \triangle FCE$;
(2)若$AB=2\sqrt {3},AD=4$,求 CE 的长.

答案：
(1)证明：由题意，得$\angle AFE=\angle D=90^{\circ}$，$\therefore \angle AFB+\angle EFC=90^{\circ}$．又$\because \angle AFB+\angle BAF=90^{\circ}$，$\therefore \angle EFC=\angle BAF$．又$\because \angle B=\angle C$，$\therefore \triangle ABF\backsim \triangle FCE$．
(2)由题意，得$AF=AD=4$，$\therefore BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=2$．$\therefore CF=BC-BF=AD-BF=4-2=2$．$\because \triangle ABF\backsim \triangle FCE$，$\therefore \frac{BF}{CE}=\frac{AB}{CF}$．$\therefore \frac{2}{CE}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$，$\therefore CE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

14. 如图,点 E,F,G 分别在正方形 ABCD 的边 AB,BC,AD 上,$AF⊥EG$. 若$AB=5,AE=DG=1$,则$BF=$$\frac{5}{4}$.

答案： $\frac{5}{4}$

15. (1)如图 1,在矩形 ABCD 中,$AD=7,CD=4$,E 是 AD 上的一点,连接 CE,BD,且$CE⊥BD$,则$\frac {CE}{BD}$的值为$\frac{4}{7}$;
(2)如图 2,在四边形 ABCD 中,$∠A=∠B=90^{\circ }$,E 为 AB 上一点,连接 DE,过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G,交 AD 的延长线于点 F. 求证:$DE\cdot AB=CF\cdot AD$.

答案：
(1)$\frac{4}{7}$
(2)证明：过点C作$CH\perp AF$，垂足为H，则四边形ABCH为矩形．$\therefore AB=CH$．$\because$在$\triangle FCH$和$\triangle FDG$中，$\angle H=\angle G=90^{\circ}$，$\angle CFH=\angle DFG$，$\therefore \angle FCH=\angle FDG=\angle ADE$．又$\because \angle A=\angle H=90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEA\backsim \triangle CFH$．$\therefore \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{HC}$．$\because \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AB}$，$\therefore DE\cdot AB=CF\cdot AD$．