《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

5. 如图，已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴相交于 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C(0,-3) $.
(1)这个二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x-3$；
(2)若 $ P $ 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，$ PH \perp x $ 轴于点 $ H $，与线段 $ BC $ 交于点 $ M $，连接 $ PC $，当 $ \triangle PCM $ 是以 $ PM $ 为一腰的等腰三角形时，求点 $ P $ 的坐标.

答案： 5.解:
(1)$y=x^{2}-2x-3$
(2)设直线BC的表达式为$y=kx+m$,将B,C的坐标代入$y=kx+m$,得$\begin{cases}3k+m=0\\m=-3\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=1\\m=-3\end{cases}$.$\therefore$直线BC的表达式为$y=x-3$.设$M(n,n-3)$,则$P(n,n^{2}-2n-3)$.$PM=(n-3)-(n^{2}-2n-3)=-n^{2}+3n$.$PC=\sqrt{n^{2}+(n^{2}-2n)^{2}}$.当$PM=PC$时,$(-n^{2}+3n)^{2}=n^{2}+(n^{2}-2n-3+3)^{2}$,解得$n_{1}=0$(不符合题意,舍),$n_{2}=2$.$\therefore P(2,-3)$.当$PM=MC$时,$(-n^{2}+3n)^{2}=n^{2}+(n-3+3)^{2}$,解得$n_{1}=0$(不符合题意,舍),$n_{2}=3-\sqrt{2},n_{3}=3+\sqrt{2}$(不符合题意,舍).$\therefore P(3-\sqrt{2},2-4\sqrt{2})$.综上所述,点P的坐标为$(3-\sqrt{2},2-4\sqrt{2})$或$(2,-3)$.

6. 如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点坐标为 $ A(4,3) $，与 $ y $ 轴相交于点 $ B(0,-5) $，对称轴为直线 $ l $，$ M $ 是线段 $ AB $ 的中点.
(1)抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x-5$；
(2)写出点 $ M $ 的坐标并求直线 $ AB $ 的表达式；
(3)设动点 $ P $，$ Q $ 分别在抛物线和对称轴 $ l $ 上，当以 $ A $，$ P $，$ Q $，$ M $ 为顶点的四边形是平行四边形时，求 $ P $，$ Q $ 两点的坐标.

答案： 6.解:
(1)$y=-\frac{1}{2}x^{2}+4x-5$
(2)$\because A(4,3),B(0,-5)$,$\therefore$AB的中点M的坐标为$(2,-1)$.设直线AB的表达式为$y=kx-5$,将点A坐标代入上式,得$3=4k-5$,解得$k=2$.$\therefore$直线AB的表达式为$y=2x-5$.
(3)设点$Q(4,s),P(m,-\frac{1}{2}m^{2}+4m-5)$.①若AM是平行四边形的一条边,当点Q在A的下方时,点A向左平移2个单位长度,向下平移4个单位长度得到M,同样点$P(m,-\frac{1}{2}m^{2}+4m-5)$向左平移2个单位长度,向下平移4个单位长度得到$Q(4,s)$,即$m-2=4,-\frac{1}{2}m^{2}+4m-5-4=s$,解得$m=6,s=-3$.$\therefore$点P的坐标为$(6,1)$,点Q的坐标为$(4,-3)$.当点Q在点A上方时,点P向右平移2个单位长度,向上平移4个单位长度得到点Q的坐标为$(4,5)$.②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得$4+2=m+4,3-1=-\frac{1}{2}m^{2}+4m-5+s$,解得$m=2,s=1$.故点P,Q的坐标分别为$(2,1),(4,1)$.综上所述,当$P(6,1),Q(4,-3)$或$P(2,1),Q(4,5)$或$P(2,1),Q(4,1)$时,以A,P,Q,M为顶点的四边形是平行四边形.