《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 如图，四边形$ABCD$的顶点均在$\odot O$上，$AC$平分$\angle BAD$，则下列结论正确的是(B)

A.$AB = AD$
B.$BC = CD$
C.$\angle ABC = \angle ADC$
D.$\angle BCA = \angle DCA$

答案： B

11. 如图，在$4×4$的正方形网格图中，已知点$A$，$B$，$C$，$D$，$O$均在格点上，其中点$A$，$B$，$D$又在$\odot O$上，$E$是线段$CD$与$\odot O$的交点，则$\angle BAE$的正切值为$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$

12. (教材九下P52练习T3变式)如图，在$\odot O$中，$A$，$B$是圆上的两点，已知$\angle AOB = 40^{\circ}$，直径$CD // AB$，连接$AC$，则$\angle BAC =$35°。

答案： 35°

13. 新考向 真实情境(2023·郴州)如图，某博览会上有一个圆形展示区，在其圆形边缘的点$P$处安装了一台监视器，它的监控角度是$55^{\circ}$，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台。

答案： 4

14. 如图，$A$，$B$，$C$三点在$\odot O$上，过点$C$作$CD // AB$与$\odot O$相交于点$D$，$E$是$\overset{\frown}{CD}$上一点，且满足$AD = DE$，连接$BD$与$AE$相交于点$F$。求证：$\triangle AFD \backsim \triangle ABC$。

答案： 证明：
∵AD=DE，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴∠ACD=∠DAE.
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD.
∴∠DAE=∠BAC.
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，
∴∠ADF=∠ACB.
∴△AFD∽△ABC.

15. 综合与探究
【问题背景】
如图，$\odot O$的半径为$1$，$A$，$P$，$B$，$C$是$\odot O$上的四个点，$\angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$。
【观察分析】
（1）判断$\triangle ABC$的形状，并证明你的结论；
【深入探究】
（2）试写出线段$PA$，$PB$，$PC$之间的数量关系，并证明你的结论。

答案：
(1)△ABC是等边三角形.证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠ABC与∠APC都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB=60°，∠ABC=∠APC=60°.
∴△ABC为等边三角形.
(2)PC=PA+PB.证明如下：在PC上截取PD=AP，连接AD，
∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形.
∴AD=PA=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°.又
∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB.在△APB和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}∠APB=∠ADC,\\∠ABP=∠ACD,\\AP=AD,\end{array}\right.$
∴△APB≌△ADC(AAS).
∴PB=DC.
∴PC=DC+PD=PB+PA.