《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 能用公式法求解，那么必须满足的条件是(A)

A.$b^{2}-4ac\geqslant0$
B.$b^{2}-4ac\leqslant0$
C.$b^{2}-4ac＞0$
D.$b^{2}-4ac＜0$

答案： A

2. 用公式法解方程 $-x^{2}+3x = 1$ 时，先要确定 $a$，$b$，$c$ 的值，则 $a$，$b$，$c$ 依次为(A)

A.$-1$，$3$，$-1$
B.$1$，$-3$，$-1$
C.$-1$，$-3$，$-1$
D.$-1$，$3$，$1$

答案： A

3. 用公式法解方程 $3x^{2}+4 = 12x$，下列代入公式正确的是(D)

A.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$
B.$x=\frac{-12\pm\sqrt{12^{2}×3×4}}{2×3}$
C.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}+3×4}}{2}$
D.$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$

答案： D

4. 用公式法解方程 $2x^{2}+x - 2 = 0$，先求得 $b^{2}-4ac=$17，再求得其解为$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$。

答案： 17 $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{4},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$

5. 用公式法解下列方程：
(1) $2x^{2}+5x - 3 = 0$。
(2) $x^{2}-5x - 2 = 0$；
(3) $x^{2}+25 = -10x$。

答案： 解:
(1)这里$a=2,b=5,c=-3$,因而$b^{2}-4ac=5^{2}-4× 2×(-3)=49＞0$.所以$x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2× 2}=\frac{-5\pm 7}{4}$.所以$x_{1}=-3,x_{2}=\frac{1}{2}$.
(2)这里$a=1,b=-5,c=-2$.因而$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 1×(-2)=33＞0$,所以$x=\frac{5\pm\sqrt{33}}{2}$.因此,原方程的根为$x_{1}=\frac{5+\sqrt{33}}{2},x_{2}=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$.
(3)移项,得$x^{2}+10x+25=0$.这里$a=1,b=10,c=25$.因而$b^{2}-4ac=10^{2}-4× 1× 25=0$,所以$x=\frac{-10\pm\sqrt{0}}{2}=-5$.因此,原方程的根为$x_{1}=x_{2}=-5$.

6. 若代数式 $3x^{2}+1$ 的值与 $x + 3$ 的值相等，求 $x$ 的值。

答案： 解:由题意,得$3x^{2}+1=x+3$,整理,得$3x^{2}-x-2=0$.$\because a=3,b=-1,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4× 3×(-2)=25＞0$.$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2× 3}=\frac{1\pm 5}{6}$.$\therefore x_{1}=-\frac{2}{3},x_{2}=1$.故$x$的值为$-\frac{2}{3}$或1.

7. 解方程 $x^{2}=3x + 2$ 时，有一位同学的解答过程如下：
解：$\because a = 1$，$b = 3$，$c = 2$，
$\therefore b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×2 = 1＞0$。
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm1}{2}$。
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$。
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程。

答案： 解:有错误.错误之处是没有把方程化成一般形式.正确解法如下:原方程化为一般形式为$x^{2}-3x-2=0$,$\because a=1,b=-3,c=-2,\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4× 1×(-2)=17＞0$.$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$.