《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 已知点$A$，$B$，且$AB ＜ 6$，画经过$A$，$B$两点且半径为$3$的圆有(C)

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.无数个

答案： C

12. 如图，在正方形方格中，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$P$均在格点处，则点$P$是下列哪个三角形的外心(D)


A.$\triangle ACE$
B.$\triangle ABD$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle BCE$

答案： D

13. 如图，已知点$O$是$\triangle ABC$的外心，连接$OA$，$OB$，$OC$. 若$\angle 1 = 40^{\circ}$，则$\angle BAC=$50°.

答案： 50°

14. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$BC = 5\ cm$，能够将$\triangle ABC$完全覆盖的最小圆形纸片的直径是$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$cm$.

答案： $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

15. 新考向 几何直观 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(0,4)$，$B(4,4)$，$C(6,2)$.
（1）点$A$，$B$，$C$能确定一个圆吗？说明理由；
（2）如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置；
（3）写出圆心$P$的坐标，并求出$\odot P$的半径.

答案： 解:
(1)点A,B,C能确定一个圆.理由:点A,B,C不在同一条直线上.
(2)图略.
(3)由AB的垂直平分线,BC的垂直平分线的交点,得圆心P的坐标是(2,0).半径的长为$\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$.

16. 新考向 阅读理解【材料背景】
阅读材料，解答问题：
命题：如图 1，在锐角$\triangle ABC$中，$BC = a$，$CA = b$，$AB = c$，$\triangle ABC$的外接圆半径为$R$，则$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
证明：连接$CO$并延长交$\odot O$于点$D$，连接$DB$，则$\angle D = \angle A$. $\because CD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle DBC = 90^{\circ}$. 在$Rt\triangle DBC$中，$\sin \angle D = \frac{BC}{DC} = \frac{a}{2R}$，所以$\sin A = \frac{a}{2R}$，即$\frac{a}{\sin A} = 2R$，同理，$\frac{b}{\sin B} = 2R$，$\frac{c}{\sin C} = 2R$，$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
【提出问题】
（1）前面阅读材料中省略了“$\frac{b}{\sin B} = 2R$，$\frac{c}{\sin C} = 2R$”的证明过程，请你把“$\frac{b}{\sin B} = 2R$”的证明过程补写出来；
【知识运用】
（2）直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图 2，已知在锐角$\triangle ABC$中，$BC = \sqrt{3}$，$CA = \sqrt{2}$，$\angle A = 60^{\circ}$，求$\triangle ABC$的外接圆半径$R$及$\angle C$.

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答案： 解:
(1)证明:连接AD,则∠ABC=∠ADC.
∵CD是⊙O的直径,
∴∠DAC=90°.在Rt△DAC中,$\sin\angle ADC=\frac{AC}{DC}=\frac{b}{2R}$.
∴$\sin\angle ABC=\frac{b}{2R}$,即$\frac{b}{\sin B}=2R$.
(2)由命题结论知,$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$.
∵$\frac{\sqrt{3}}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin B}$.
∴$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵BC＞CA,
∴∠A＞∠B.
∴∠B=45°.
∴∠C=180°-∠B-∠A=75°.由$\frac{\sqrt{3}}{\sin60^{\circ}}=2R$,得R=1.