《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. (2023·资阳改编)如图，直线 $ y = \frac{3}{4}x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $，$ B $ 两点，抛物线 $ y = -\frac{3}{4}x^{2} + bx + c $ 经过 $ A $，$ B $ 两点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)$ D $ 是抛物线在第二象限内的点，过点 $ D $ 作 $ x $ 轴的平行线与直线 $ AB $ 交于点 $ C $.
①用含 $ x $ 的代数式表示 $ DC $ 的长；
②求 $ DC $ 的长的最大值.

答案： 1.解:
(1)在直线$y=\frac{3}{4}x+3$中,令$x=0$,则$y=3$;令$y=0$,则$x=-4$,$\therefore A(-4,0),B(0,3)$,$\because$抛物线$y=-\frac{3}{4}x^{2}+bx+c$经过A,B两点.$\therefore \begin{cases}-12-4b+c=0\\c=3\end{cases}$,解得$\begin{cases}b=-\frac{9}{4}\\c=3\end{cases}$.$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{4}x+3$.
(2)①设$D(m,-\frac{3}{4}m^{2}-\frac{9}{4}m+3)$.$\because DC// x$轴,与直线AB交于点C,$\therefore \frac{3}{4}x+3=-\frac{3}{4}m^{2}-\frac{9}{4}m+3$,解得$x=-m^{2}-3m$.$\therefore C(-m^{2}-3m,-\frac{3}{4}m^{2}-\frac{9}{4}m+3)$.$\therefore DC=-m^{2}-3m-m=-m^{2}-4m$.②$DC=-m^{2}-4m=-(m+2)^{2}+4$.$\therefore$当$m=-2$时,DC的长的最大值为4.

2. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 5(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-5,0) $ 和点 $ B(3,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若 $ E $ 为 $ x $ 轴下方抛物线上的一动点，当 $ S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} $ 时，求点 $ E $ 的坐标.

答案： 2.解:
(1)把A,B两点坐标代入表达式,得$\begin{cases}25a-5b-5=0\\9a+3b-5=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=\frac{1}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$.$\therefore$抛物线表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-5$.
(2)在$y=\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-5$中,令$x=0$可得$y=-5$,$\therefore$点C的坐标为$(0,-5)$.$\because S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABC}$,且E点在x轴下方,$\therefore$E点纵坐标和C点纵坐标相同.令$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2}{3}x-5=-5$,解得$x=-2$或$x=0$.当$x=0$时,点E与C重合,也满足条件,$\therefore$E点坐标为$(-2,-5)$或$(0,-5)$.综上所述,点E的坐标为$(-2,-5)$或$(0,-5)$.