《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

12. (2024·陕西)关于$x$的二次函数$y = x^{2}-2mx + m^{2}-1(m ＞ 1)$的图象可能是(C)

答案： 12.C

13. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(D)

A.图象与$x$轴的负半轴交于点$(-3,0)$
B.函数的最大值为$a - b + c$
C.$c ＞ 0$
D.$ab ＜ 0$

答案： 13.D

14. 【数形结合思想】二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，若$M = 4a + 2b$，$N = a - b$，则$M$，$N$的大小关系为$M$＜$N$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)。

答案： 14.＜

15. 新考向 代数推理 (2024·南宁十四中月考)在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$是抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a ＞ 0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x = t$。
(1)若对于$x_{1} = 1$，$x_{2} = 2$，有$y_{1} = y_{2}$，求$t$的值；
(2)若对于$0 ＜ x_{1} ＜ 1$，$1 ＜ x_{2} ＜ 2$，都有$y_{1} ＜ y_{2}$，求$t$的取值范围。

答案： 15.解:
(1)
∵对于x₁=1,x₂=2,有y₁=y₂,
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{x₁+x₂}{2}$=$\frac{3}{2}$.
∴t=$\frac{3}{2}$.
(2)
∵0＜x₁＜1,1＜x₂＜2,
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{x₁+x₂}{2}$＜$\frac{3}{2}$,x₁＜x₂.
∵y₁＜y₂,且a＞0,
∴点M(x₁,y₁)离对称轴更近.
∴点M,N的中点在对称轴的右侧.
∴$\frac{x₁+x₂}{2}$＞t,即t≤$\frac{1}{2}$.

【例】【一题多解】已知$A(-4,y_{1})$，$B(1,y_{2})$两点都在二次函数$y = - 3(x + 1)^{2}+2$的图象上，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小关系。
解法1：直接代入法：把$A(-4,y_{1})$，$B(1,y_{2})$分别代入$y = - 3(x + 1)^{2}+2$中，得$y_{1} =$-25，$y_{2} =$-10，$\therefore y_{1}$＜$y_{2}$。
解法2：增减性比较法：$\because y = - 3(x + 1)^{2}+2$，$\therefore$抛物线的对称轴为直线x=-1。$\therefore$点$A$，$B$位于对称轴的异侧(填“同”或“异”)，利用对称性可知，点$A$关于对称轴的对称点的坐标为(2,y₁)。$\because a = - 3 ＜ 0$，$\therefore$当$x ＞ - 1$时，$y$随$x$的增大而减小。又$\because$2$＞ 1$，$\therefore y_{1}$＜$y_{2}$。
【方法归纳】 增减性比较法一般是先定对称轴，再看点的位置，同侧利用增减性直接比较，异侧利用轴对称性，把点关于对称轴对称到同侧再比较。
解法3：距离比较法：
(1)该抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1。
(2)画出抛物线的示意图(标明对称轴位置)。
(3)将点$A$，$B$标在示意图上，点$A$到对称轴的距离比点$B$到对称轴的距离远(填“近”或“远”)，由图象得$y_{1}$＜$y_{2}$(填“$＞$”或“$＜$”)。

答案： 【例】 解法1:-25 -10 ＜ 解法2:x=-1 异 (2,y₁) 减小 2 ＜ 解法3:
(1)下 x=-1
(3)远 ＜

1. (2024·南宁青秀区月考)已知$A(-1,y_{1})$，$B(2,y_{2})$，$C(4,y_{3})$是二次函数$y = - x^{2}+2x + c$图象上的三个点，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系为(D)

A.$y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3}$
B.$y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3}$
C.$y_{1} ＜ y_{3} ＜ y_{2}$
D.$y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2}$

答案： 1.D

2. 已知抛物线$y = - (x - 3)^{2}-n$($n$是常数)经过$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$C(x_{3},y_{3})$三点，且$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 3$，$x_{3} ＞ 3$，$|x_{1} - 3| ＜ |x_{3} - 3|$，则下列关于$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系的结论正确的是(C)

A.$y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2}$
B.$y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1}$
C.$y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3}$
D.$y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1}$

答案： 2.C

3. 已知$a$，$b$，$c$是实数，点$A(a - 1,b)$，$B(a - 2,c)$在二次函数$y = x^{2}-2ax + 1$的图象上，则$b$，$c$的大小关系是$b$＜$c$(填“$＞$”或“$＜$”)。

答案： 3.＜