《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

8. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴两个交点的坐标为 $(-1,0)$，$(3,0)$，其形状和开口方向与抛物线 $ y = -2x^{2} $ 相同，则抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的表达式为 (D)

A.$ y = -2x^{2} - x + 3 $
B.$ y = -2x^{2} + 4x + 5 $
C.$ y = -2x^{2} + 4x + 8 $
D.$ y = -2x^{2} + 4x + 6 $

答案： D

9. 若 $ y = ax^{2} + bx + c $，则由表格中信息可知 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是 (A)


A.$ y = x^{2} - 4x + 3 $
B.$ y = x^{2} - 3x + 4 $
C.$ y = x^{2} - 3x + 3 $
D.$ y = x^{2} - 4x + 8 $

答案： A

10. 已知抛物线经过点 $ A(2,0) $ 和 $ B(-1,0) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ C $。若 $ OC = 2 $，则这条抛物线的表达式是 $y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$ 。

答案： $y=x^{2}-x-2$或$y=-x^{2}+x+2$

11. 如图，抛物线的顶点 $ M $ 在 $ y $ 轴上，抛物线与直线 $ y = x + 1 $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，且点 $ A $ 在 $ x $ 轴上，点 $ B $ 的横坐标为 $ 2 $，那么抛物线的函数关系式为 $y=x^{2}-1$ 。

答案： $y=x^{2}-1$

12. （2024·辽宁改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $，点 $ B $ 的坐标为 $(3,0)$。若点 $ C(2,3) $ 在抛物线上，求 $ AB $ 的长。

答案： 解:
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+3$过点$B(3,0),C(2,3)$,
∴$\begin{cases} 9a+3b+3=0, \\ 4a+2b+3=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=2. \end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$.
∴抛物线的对称轴是直线$x=-\dfrac{2}{2×(-1)}=1$.
∵抛物线与x轴的一交点为$B(3,0)$,
∴另一交点为$A(1-2,0)$,即$A(-1,0)$.
∴$AB=3-(-1)=4$.

13. 新考向 真实情境 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”。锅口直径为 $ 6 dm $，锅深 $ 3 dm $，锅盖高 $ 1 dm $（锅口直径与锅盖直径视为相等），建立平面直角坐标系如图所示，把锅纵断面的抛物线记为 $ C_{1} $，锅盖纵断面的抛物线记为 $ C_{2} $。

(1) 求 $ C_{1} $ 和 $ C_{2} $ 的表达式；
(2) 如果炒菜时锅的水位高度是 $ 1 dm $，求此时水面的直径（结果保留根号）；
(3) 如果将一个底面直径为 $ 2 dm $，高度为 $ 3.6 dm $ 的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵抛物线$C_{1}$、$C_{2}$都过点$A(-3,0),B(3,0)$,
∴设$C_{1},C_{2}$的表达式分别为$y=a_{1}(x-3)(x+3),y=a_{2}(x-3)(x+3)$.
∵抛物线$C_{1}$经过点$D(0,-3)$,
∴$-3=a_{1}(0-3)(0+3)$,解得$a_{1}=\dfrac{1}{3}$.
∴$C_{1}$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^{2}-3(-3\leqslant x\leqslant3)$.
∵抛物线$C_{2}$经过点$C(0,1)$,
∴$1=a_{2}(0-3)(0+3)$,解得$a_{2}=-\dfrac{1}{9}$.
∴$C_{2}$的表达式为$y=-\dfrac{1}{9}x^{2}+1(-3\leqslant x\leqslant3)$.
(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm时,则$y=-2$,即$\dfrac{1}{3}x^{2}-3=-2$,解得$x=\pm\sqrt{3}$.
∴此时水面的直径为$2\sqrt{3}$dm.
(3)锅盖不能正常盖上.理由如下:当$x=1$时,抛物线$C_{1}:y=\dfrac{1}{3}×1^{2}-3=-\dfrac{8}{3}$,$C_{2}:y=-\dfrac{1}{9}×1^{2}+1=\dfrac{8}{9}$.
∵$\dfrac{8}{9}-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{9}+\dfrac{24}{9}=\dfrac{32}{9}＜3.6$,
∴锅盖不能正常盖上.