《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价。若每件商品售价为x元，则可卖出(350 - 10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为$y=-10x^{2}+560x-7350$。

答案： $y=-10x^{2}+560x-7350$

2. 将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时，每天能卖出20件。若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得更多利润决定降价x元，则单件的利润为$(30-x)$元，每日的销售量为$(20+x)$件，每日的利润y = $-x^{2}+10x+600(0\leqslant x \leqslant 30$,且$x$为整数)(写出自变量的取值范围)，所以每件降价5元时，每日获得的最大利润为625元。

答案： $(30-x)$ $(20+x)$ $-x^{2}+10x+600(0\leqslant x \leqslant 30$,且$x$为整数) 5 625

3. 秋风起，桂花飘香，到了吃螃蟹的最好季节。某商店销售一种成本为10元/千克的大闸蟹，若按15元/千克销售，一个月可售出350千克，经调查得知，销售单价每涨价1元，月销售量就少10千克。设售价为x元/千克(x≥15)，月销售量为y千克。
(1) 求出月销售量y与售价x之间的函数表达式；
(2) 当售价为多少元/千克时，月销量利润最大？并求出最大月销售利润。

答案： 3.解:
(1)$y=350-10×(x-15)=500-10x$.
(2)设月销售利润为$w$元,则$w=(x-10)(500-10x)=-10x^{2}+600x-5000=-10(x-30)^{2}+4000$.由$500-10x\geqslant0$,得$x\leqslant50$,$\therefore15\leqslant x \leqslant50$.$\because-10＜0$,$\therefore$当$x=30$时,$w$有最大值,最大值为$4000$.
答:当售价为$30$元/千克时,月销售利润最大,最大月销售利润是$4000$元.

4. 某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(千克)和单价x(元)满足的一次函数关系如图所示，其中50≤x≤80。
(1) 求y关于x的函数表达式；
(2) 若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 4.解:
(1)设$y=kx+b$,将$(50,100)$,$(80,40)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}50k+b=100,\\80k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=200.\end{cases}$$\therefore y=-2x+200(50\leqslant x \leqslant80)$.
(2)设电商每天获得的利润为$w$元,则$w=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)^{2}+1800$.$\because-2＜0$,且对称轴是直线$x=70$,又$\because50\leqslant x \leqslant80$,$\therefore$当$x=70$时,$w$取得最大值,最大值为$1800$.
答:该电商售价为$70$元时获得最大利润,最大利润是$1800$元.

5. 从喷水池喷头喷出的水珠在空中形成一条抛物线。如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(m)与它距离喷头的水平距离x(m)之间满足函数关系式y = -2x² + 4x + 1，则喷出水珠的最大高度是3m。

答案： 3

6. 加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，可食用率y与加工时间x(min)满足函数表达式y = -0.2x² + 1.5x - 2，则最佳加工时间为3.75min。

答案： 3.75