《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14分)(2024·泰州靖江实验中学月考)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}的表达式为y= -x$,直线$l_{2}与l_{1}交于点A(a,-a)$,与y轴交于点$B(0,b)$,其中a,b满足$(a+2)^{2}+\sqrt{b-3}= 0$.
(1)求直线$l_{2}$的表达式；
(2)若直线AB上有一点P,使得$S_{\triangle AOP}= \frac{1}{3}S_{\triangle AOB}$,请求出点P的坐标；
(3)已知平行于y轴且位于y轴左侧有一动直线,分别与$l_{1},l_{2}$交于点M,N,且点M在点N的下方,点Q为y轴上一动点,且$\triangle MNQ$为等腰直角三角形,请直接写出满足条件的点Q的坐标.

答案：
(1)解：由$(a + 2)^2+\sqrt{b - 3}=0$，得$a=-2$，$b = 3$，$\therefore A(-2,2)$，$B(0,3)$。设直线$l_2$表达式为$y=kx + 3$，将$A(-2,2)$代入得$-2k+3=2$，解得$k=\frac{1}{2}$，$\therefore$直线$l_2$表达式为$y=\frac{1}{2}x + 3$。
(2)解：$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×3×2 = 3$，$\therefore S_{\triangle AOP}=1$。设$P\left(m,\frac{1}{2}m + 3\right)$，直线$AB$：$y=\frac{1}{2}x + 3$与$x$轴交于$C(-6,0)$。当$P$在$AC$上时，$\frac{1}{2}×6×\left|\frac{1}{2}m+3\right|=1$，$\left|\frac{1}{2}m + 3\right|=\frac{1}{3}$，解得$m=-\frac{20}{3}$或$m=-\frac{16}{3}$，$\therefore P\left(-\frac{20}{3},\frac{1}{3}\right)$或$\left(-\frac{16}{3},\frac{5}{3}\right)$。
(3)$Q(0,3)$或$(0,6)$或$(0,0)$或$(0,-3)$