《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

15.(12分)对角互补模型 (2024·宿迁宿豫区期中)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,D是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且DE⊥DF.
(1)求证:AE= CF;
(2)若AB= 12,求四边形DECF的面积.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD.
∵AC=BC，
∴∠ADC=90°，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，∠A=∠B=45°，
∴∠A=∠DCF.
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADC=∠EDF，
∴∠ADE=∠CDF.在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠DCF,\\ AD=CD,\\∠ADE=∠CDF,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF.
(2)
∵CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，AB=12，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$×12=6.
∵∠ADC=90°，
∴S△ADC=$\frac{1}{2}$AD·CD=$\frac{1}{2}$×6×6=18.
∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE=S△CDF，
∴S四边形DECF=S△CDF+S△CDE=S△ADE+S△CDE=S△ADC=18，
∴四边形DECF的面积为18.

16.(14分)(2025·广西来宾期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上,点E在边AD上,延长BE交AC于点F,且△ACD≌△BED.
(1)求证:∠AFE= 90°;
(2)若S△BCF= 20,S四边形CFED= 8,求△AEF的面积.

答案：
(1)
∵△ACD≌△BED，∠ADC+∠BDE=180°，
∴∠ADC=∠BDE，∠CAD=∠DBE，
∴∠ADC=∠BDE=90°.
∵∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠BED+∠BDE+∠DBE=180°，∠AEF=∠BED，
∴∠AFE=∠BDE=90°.
(2)
∵S△BCF=20，S四边形CFBD=8，
∴S△BDE=S△BCF - S四边形CFBD=20 - 8=12.
∵△ACD≌△BED，
∴S△ACD=S△BED=12，
∴S△AEF=S△ACD - S四边形CFED=12 - 8=4.