《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

22.(10 分)(2024·宿迁宿城区期末)图(1)是某品牌婴儿车,图(2)为其简化结构示意图,根据安全标准需满足BC⊥CD. 观测得AB= CD= 6 dm,BC= 3 dm,AD= 9 dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD= 90°),通过计算说明该车是否符合安全标准.

答案： 在$Rt△ABD$中,$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$,在$△BCD$中,$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45$,$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$,$\therefore ∠BCD = 90^{\circ }$,$\therefore BC⊥CD$.故该车符合安全标准.

23.(10 分)(2024·安徽合肥四十五中期中)定义：如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM= 9,MN= 15,BN= 12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB= 24,AM= 6,求BN的长.

答案：
(1)是.理由如下:$\because AM^{2}+BN^{2}=9^{2}+12^{2}=225$,$MN^{2}=15^{2}=225$,$\therefore AM^{2}+NB^{2}=MN^{2}$,$\therefore$以 AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形,$\therefore$点 M,N 是线段 AB 的勾股分割点.
(2)设$BN = x$,则$MN = 24 - AM - BN = 18 - x$.①当 MN 为最长线段时,依题意,得$MN^{2}=AM^{2}+NB^{2}$,即$(18 - x)^{2}=36 + x^{2}$,解得$x = 8$;②当 BN 为最长线段时,依题意,得$BN^{2}=AM^{2}+MN^{2}$,即$x^{2}=36+(18 - x)^{2}$,解得$x = 10$.综上所述,$BN = 8$或 10.