《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

22.(10分)(2024·苏州平江中学期中)为推进乡村振兴,把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园,某地大力修建崭新的公路.如图,现从A地分别向C,D,B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB,C地,D地,B地在同一直笔公路上,公路AC和公路CB互相垂直,又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接,且公路DH和公路AB互相垂直,已知$AC= 9$千米,$AB= 15$千米,$BD= 5$千米.
(1)求公路CD,AD的长度；
(2)若修公路DH每千米的费用是2000万元,请求出修建公路DH的费用.

答案：
(1)
∵∠C=90°,AC=9千米,AB=15千米,
∴BC²=AB²-AC²=144,
∴BC=12千米.
∵BD=5千米,
∴CD=12-5=7(千米),
∴AD²=AC²+CD²=130,
∴AD=√130(千米).
(2)
∵DH⊥AB,
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$BD·AC=$\frac{1}{2}$AB·DH,即5×9=15DH,
∴DH=3千米,
∴修建公路DH的费用为3×2000=6000(万元).

23.(10分)如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点$B'$处,点A落在点$A'$处.
(1)求证：$B'E= BF$；
(2)设$AE= a$,$AB= b$,$BF= c$,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.

答案：
(1)由题意,得B'F=BF,∠B'FE=∠BFE.在长方形ABCD中,AD//BC,
∴∠B'EF=∠BFE,
∴∠B'FE=∠B'EF,
∴B'F=B'E,
∴B'E=BF.
(2)猜想:a²+b²=c².证明如下:由
(1)知,A'B'=AB=b,A'E=AE=a,
∵B'E=BF=c,在△A'B'E中,∠A'=90°,
∴A'E²+A'B'²=B'E²,
∴a²+b²=c².