《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26. (10分)在$△ABC$中,$AB= AC,∠ABC= α$,点D是边BC上一动点,过点D作$l// AB$,点E与点C关于直线l对称,连接DE,BE.
(1)如图(1),连接CE,若$BC= 4,α= 30^{\circ },$
①求证:$△CED$是等边三角形;
②线段BE的最小值为______.
(2)如图(2),取BE中点F,连接AF,DF.求证:$AF⊥DF$.

答案：

(1)①设直线 l 与 CE 交于点 M，如图
(1)。

∵l//AB，∠ABC = α = 30°，
∴∠CDM = ∠ABC = 30°。
∵点 E 与点 C 关于直线 l 对称，
∴CD = ED，∠CDM = ∠EDM = 30°，
∴∠CDE = 60°，
∴△CED 是等边三角形。②√12
(2)如图
(2)，延长 DF 至点 G，使得 FG = DF，连接 AD，AG，BG。

∵F 是 BE 的中点，
∴EF = BF 且∠EFD = ∠BFG。
∵DF = FG，
∴△EDF≌△BGF(SAS)，
∴ED = BG，∠DEF = ∠FBG，
∴ED//BG，
∴∠CBG = ∠CDE。
∵l//AB，∠ABC = α，点 E 与点 C 关于直线 l 对称，
∴∠CBG = ∠CDE = 2α。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = α，
∴∠ABG = ∠ACB = α。
∵CD = ED，
∴CD = BG，
∴△ADC≌△AGB(SAS)，
∴AD = AG。
∵AD = AG 且 F 是 BE 的中点，
∴AF⊥DF。