《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24.(12分)(2025·无锡新吴区期中)如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图,他将一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动,顶端靠在对面墙上,此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB.
(1)当小明在甲房间时,梯子靠在对面墙上,顶端刚好落在对面墙角B处,若$MA= 1.6$米,$AP= 1.2$米,则甲房间的宽度$AB= $______米;
(2)当他在乙房间时,测得$MA= 1.6$米,$NB= 1.2$米,且$\angle MPN= 90^{\circ}$,求乙房间的宽AB;
(3)当他在丙房间时,测得$MA= 3.3$米,且$\angle MPA= 75^{\circ},\angle NPB= 45^{\circ}$,求丙房间的宽AB.

答案：

(1)3.2 [解析]在 Rt△AMP 中,∠A=90°,MA=1.6 米,AP=1.2 米,
∴$PM=√(AM^2+AP^2)=2.$
∵PB=PM=2,
∴甲房间的宽度 AB=AP+PB=3.2 米.
(2)
∵∠MPN=90°,
∴∠APM+∠BPN=90°.
∵∠APM+∠AMP=90°,
∴∠AMP=∠BPN.在△AMP 与△BPN 中,∠AMP=∠BPN,∠MAP=∠PBN=90°,MP=PN,
∴△AMP≌△BPN,
∴MA=PB=1.6 米.
∵PA=NB=1.2 米,
∴AB=PA+PB=1,2+1.6=2.8(米).
(3)如图,过点 N 作 MA 的垂线,垂足为 D,连接 NM.

设 AB=x,且 AB=ND=x.
∵梯子的倾斜角∠BPN 为 45°,
∴△BNP 为等腰直角三角形,△PNM 为等边三角形,∠MND=15°.
∵∠APM=75°,
∴∠AMP=15°.
∴∠DNM=∠AMP.
∵△PNM 为等边三角形,
∴NM=PM,
∴△AMP≌△DNM(AAS),
∴AM=DN,
∴AB=DN=AM=3.3 米.故丙房间的宽 AB 是 3.3 米.

25.(12分)(2025·湖南长沙望城区期末)如图,数轴上线段$AB= 2$单位长度,$CD= 4$单位长度,点A在数轴上表示的数是-10,点C在数轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.

(1)运动多少秒时,$BC= 8$单位长度?
设运动 t 秒时,BC=8 单位长度,①当点 B 在点 C 的左边时,由题意,得 6t+8+2t=24,解得 t=2;②当点 B 在点 C 的右边时,由题意,得 6t-8+2t=24,解得 t=4.
(2)当运动到$BC= 8$单位长度时,点B在数轴上表示的数是______.
4 或 16
(3)P是线段AB上一点,当点B运动到线段CD上时,是否存在关系式$\frac{BD-AP}{PC}= 3$?若存在,求线段PD的长;若不存在,请说明理由.
存在关系式(BD-AP)/PC=3.设运动时间为 t 秒,①当 t=3 时,点 B 和点 C 重合,点 P 在线段 AB 上,0＜PC≤2,且 BD=CD=4,AP+3PC=AB+2PC=2+2PC,当 PC=1 时,BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;②当 3＜t＜13/4 时,点 C 在点 A 和点 B 之间,0＜PC＜2,I.点 P 在线段 AC 上时,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC,当 PC=1 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;Ⅱ.点 P 在线段 BC 上时,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,当 PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;③当 t=13/4 时,点 A 与点 C 重合,0＜PC≤2,BD=CD-AB=2,AP+3PC=4PC,当 PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;④当 13/4＜t＜7/2 时,0＜PC＜4,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3.∵P 在 C 点左侧或右侧,∴PD 的长有 2 种可能,即 5 或 3.5.

答案：
(1)设运动 t 秒时,BC=8 单位长度,①当点 B 在点 C 的左边时,由题意,得 6t+8+2t=24,解得 t=2;②当点 B 在点 C 的右边时,由题意,得 6t-8+2t=24,解得 t=4.
(2)4 或 16 [解析]当运动 2 秒时,点 B 在数轴上表示的数是 4;当运动 4 秒时,点 B 在数轴上表示的数是 16.
(3)存在关系式(BD-AP)/PC=3.设运动时间为 t 秒,①当 t=3 时,点 B 和点 C 重合,点 P 在线段 AB 上,0＜PC≤2,且 BD=CD=4,AP+3PC=AB+2PC=2+2PC,当 PC=1 时,BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;②当 3＜t＜13/4 时,点 C 在点 A 和点 B 之间,0＜PC＜2,I.点 P 在线段 AC 上时,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC,当 PC=1 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;Ⅱ.点 P 在线段 BC 上时,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,当 PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;③当 t=13/4 时,点 A 与点 C 重合,0＜PC≤2,BD=CD-AB=2,AP+3PC=4PC,当 PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3;④当 13/4＜t＜7/2 时,0＜PC＜4,BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,PC=1/2 时,有 BD=AP+3PC,即(BD-AP)/PC=3.
∵P 在 C 点左侧或右侧,
∴PD 的长有 2 种可能,即 5 或 3.5.