《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14分)如图,直线$y= -\frac{1}{2}x+3$分别与x轴、y轴交于A,B两点,直线$y= x$交直线AB于点C,点P为x轴上一动点.
(1)求点C的坐标；
(2)当直线CP平分$\triangle OAC$的面积时,直线CP与y轴交于点D,求线段PD的长；
(3)若$\triangle COP$是等腰三角形,直接写出点P的坐标.

答案：

(1)
∵直线y = x交直线y = -1/2x + 3于点C，
∴联立方程组{y = -1/2x + 3，y = x}，解得{x = 2，y = 2}.
∴点C的坐标为(2,2).
(2)如图
(1).

∵直线y = -1/2x + 3分别与x轴、y轴交于A、B两点，
∴令y = 0，则 -1/2x + 3 = 0，解得x = 6.
令x = 0，则y = 3，
∴A(6,0)，B(0,3).
∴OA = 6.
∵点P为x轴上一动点，直线CP平分△OAC的面积，
∴OP = 1/2OA = 3，即P(3,0).
设直线PC的表达式为y = kx + b(k ≠ 0)，
由题意，得{2k + b = 2，3k + b = 0}，解得{k = -2，b = 6}.
∴直线PC的表达式为y = -2x + 6.
∴D(0,6)，OD = 6.
∵y轴⊥x轴，即OD⊥OP，且OD = 6，OP = 3，
∴PD = √(OD² + OP²)= √(6² + 3²)= √45.
(3)
∵C(2,2)，
∴OC = √8.
又△COP是等腰三角形，
∴有三种情形:
①如图
(2)，当OP = OC = √8时，
则P₁(√8,0)或P₂(-√8,0)；
　　　　
②如图
(3)，当CP = OC = √8时，过点C作CM⊥OP(或x轴)于点M，
则MP = MO = 2，即OP = 2OM = 4，
∴P(4,0)；
　　　　
③如图
(4)，当OP = PC时(即作OC的垂直平分线交x轴于点P)，

∵直线y = x与x轴的夹角∠POC = 45°，
∴∠OCP = ∠POC = 45°，
∴∠OPC = 90°，即CP⊥x轴，
∴OP = CP = 2.
∴P(2,0).
综上所述，点P的坐标为(√8,0)或(-√8,0)或(4,0)或(2,0).