《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

6. (2024·河北中考)已知a,b,n均为正整数.
(1)若n＜√10＜n+1,则n=3；
(2)若n-1＜√a＜n,n＜√b＜n+1,则满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

答案：
(1)3
(2)2　[解析]
∵n−1＜√a＜n，
∴(n−1)²＜a＜n²，
∴a的个数为n²−(n−1)²−1=n²−n²+2n−1−1 =2n−2。
　　　注意去括号时符号的变化
∵n＜√b＜n + 1，
∴n²＜b＜(n + 1)²，
∴b的个数为(n + 1)²−n²−1=n²+2n+1−n²−1=2n。
∵2n−(2n−2)=2，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个。

7. (2024·镇江中考)等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为6.

答案： 6

8. (2024·深圳中考)如图,A,B,C均为正方形,若A的面积为10,C的面积为1,则B的边长可以是2.(写出一个答案即可)

答案： 2(答案不唯一)

9. (2024·湖南衡阳期末)勾股定理$a^2+b^2= c^2$本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫作勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),…,分析上面勾股数组可以发现4= 1×(3+1),12= 2×(5+1),24= 3×(7+1),…,依此规律,第5个勾股数组为 (11,60,61).

答案： (11,60,61)　[解析]由勾股数组(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，…，
　得4=1×(3 + 1)，12=2×(5 + 1)，24=3×(7 + 1)，
　第4组勾股数中间的数为4×(9 + 1)=40，即勾股数为(9,40,41)；
　第5组勾股数中间的数为5×(11 + 1)=60，即(11,60,61)。

10. (2024·潍坊中考)请写出同时满足以下两个条件的一个函数：y = −x + 2(答案不唯一).
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交.

答案： y = −x + 2(答案不唯一)

11. (2024·江西赣州兴国期末)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 8 cm,BC= 14 cm,点P从点A出发沿A→C→B路径向终点运动,终点为点B,点Q从点B出发沿B→C→A路径向终点运动,终点为点A,点P和点Q分别以2 cm/s和3 cm/s的运动速度同时开始运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动,分别过P和点Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F.设运动时间为t秒,要使以点P,E,C为顶点的三角形与以点Q,F,C为顶点的三角形全等,则t的值为 .

答案：
22/5或6或8[解析]
∵PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，
∴∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠QCF+∠CQF=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∴∠PCE=∠CQF。
　　①当0≤t＜4时，点P在AC上，点Q在BC上，如图
(1)，此时有AP=2t cm，BQ=3t cm，AC=8 cm，BC=14 cm。当PC=QC，即8−2t=14−3t时，△PCE≌△CQF，解得t=6，不符合题意，舍去；
　　 ②当4≤t＜14/3时，点P在BC上，点Q也在BC上，如图
(2)，若PC=QC，则点P与点Q重合，△CPE≌△CQF，即2t−8=14−3t，解得t=22/5；
　　③当14/3≤t＜22/3时，点P在BC上，点Q在AC上，如图
(3)，当PC=QC，即2t−8=3t−14时，△PCE≌△CQF，解得t=6；
　　 ④当22/3≤t≤11时，点Q停在点A处，点P在BC上，如图
(4)，当PC=QC时，即2t−8=8时，△PCE≌△CQF，解得t=8。
　　综上所述，当t等于22/5或6或8时，以点P，E，C为顶点的三角形与以点Q，F，C为顶点的三角形全等。

12. (2024·淄博中考)如图,已知AB= CD,点E,F在线段BD上,且AF= CE.
请从①BF= DE；②∠BAF= ∠DCE；③AF= CF中选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是：①(只填写一个序号).
添加条件后,请证明AE//CF.

证明：在△ABF和△CDE中，{AB=CD，AF=CE，BF=DE}，
∴△ABF≌△CDE(SSS)，
∴∠B=∠D，BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF。
在△ABE和△CDF中，{AB=CD，∠B=∠D，BE=DF}，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF。

答案： 当选择①BF=DE时，△ABF≌△CDE。证明如下：
　　在△ABF和△CDE中，{AB=CD，AF=CE，BF=DE}，
∴△ABF≌△CDE(SSS)，
∴∠B=∠D，BF=DE，
∴BF+EF=DE+EF，即BE=DF。
　　在△ABE和△CDF中，{AB=CD，∠B=∠D，BE=DF}，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF。
一题多解　当选择②∠BAF=∠DCE时，△ABF≌△CDE。证明如下：
　　在△ABF和△CDE中，{AB=CD，∠BAF=∠DCE，AF=CE}，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠B=∠D，BF=DE，
　同理可证△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE//CF。

13. (2024·江西景德镇乐平期末)综合探究：
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为√5,√10,√13,求这个三角形的面积.”
小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图(1)所示,这样不需要求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.
(1)直接写出图(1)中△ABC的面积是 ；
(2)若△MNP的边长分别为$√(m^2+16n^2),√(9m^2+4n^2),√(4m^2+4n^2)(m＞0,n＞0,$且m≠n),试运用构图法在图(2)中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积；
(3)拓展应用：求代数式$√(x^2+1)+√((4-x)^2+4)(0≤x≤4)$的最小值.

答案：

(1)3.5
(2)如图
(1)，由勾股定理，知MN=√(m²+16n²)，NP=√(9m²+4n²)，PM=√(4m²+4n²)，△MNP即为所求作。
　　　　　　
　　△MNP的面积为3m×4n−1/2×m×4n−1/2×2m×2n−1/2×3m×2n=12mn−2mn−2mn−3mn=5mn。
(3)√(x²+1)可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的斜边长，√((4−x)²+4)可看作两直角边分别是4−x和2的Rt△BDP的斜边长，构造图形如图
(2)，
　　　　　　　　
　　依题意，得AC=1，DB = 2，CD = 4，CP=x，PD=4−x，求代数式√(x²+1)+√((4−x)²+4)(0≤x≤4)的最小值，就是求AP+BP的最小值，当A，P，B共线时，AP+BP为最小，最小值为AB的长。
∵AE=AC+CE=1+2=3，BE=CD=4，
∴AB=√(AE²+BE²)=√(3²+4²)=5，
∴代数式√(x²+1)+√((4−x)²+4)(0≤x≤4)的最小值是5。