《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24.(12分)在$\triangle ABC$中,AB 的垂直平分线分别交线段 AB,BC 于点 M,P,AC 的垂直平分线分别交线段 AC,BC 于点 N,Q.
(1)如图,当$\angle BAC= 80^{\circ}$时,求$\angle PAQ$的度数.
(2)当$\angle BAC$满足什么条件时,$AP\perp AQ$? 说明理由.
(3)在(2)的条件下,$BC= 10$,求$\triangle APQ$的周长.

答案：

(1)
∵MP,NQ分别是AB,AC的垂直平分线，
∴AP=BP,AQ=CQ.
∵∠BAC=80°,
∴∠B+∠C=180°-80°=100°.
∵AP=BP,AQ=CQ,
∴∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C.
∴∠PAQ=∠BAP+∠CAQ-∠BAC
=∠B+∠C-∠BAC
=100°-80°=20°.
(2)当∠BAC=135°时,AP⊥AQ.理由如下:
如图,由
(1),得∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,
∴∠B+∠C=180°-∠BAC,∠BAP+∠CAQ=∠BAC-∠PAQ.
∵AP⊥AQ,
∴∠PAQ=90°.
∴180°-∠BAC=∠BAC-90°,
即当∠BAC=(180°+90°)÷2=135°.
∴∠BAC=135°时,PA⊥AQ.
(3)△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC.
∵BC=10,
∴△APQ周长=10.

25.(12分)(2025·南京鼓楼区求真中学期中)如图,已知在锐角三角形 ABC 中,CD,BE 分别是 AB,AC 边上的高,M,N 分别是线段 BC,DE 的中点.
(1)求证:$MN\perp DE$;
(2)若$\angle ABC= 70^{\circ}$,$\angle ACB= 50^{\circ}$,连接 DM,ME,求$\angle DME$的度数.

答案：
(1)
∵CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是BC的中点,
∴DM=$\frac{1}{2}$BC,ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴DM=ME,
又N为DE中点,
∴MN⊥DE.
(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵∠ABC=70°,∠ACB=50°,
∴180°-∠A=120°.
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,
∴∠DME=180°-(∠BMD+∠CME)=60°.