《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26. (14分)中考新考法 动点问题 如图,在等边三角形ABC中,AB= AC= BC= 6 cm.现有两点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次回到点B时,点M,N同时停止运动,设运动时间为t s.
(1)当t为何值时,M,N两点重合?
(2)当点M,N分别在边AC,BA上运动时,△AMN的形状会不断发生变化.
①当t为何值时,△AMN是等边三角形?
②当t为何值时,△AMN是直角三角形?
(3)若点M,N都在边BC上运动,当存在以MN为底边的等腰三角形AMN时,求t的值.
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答案：
(1)
∵M,N两点重合,
∴t×1+6=2t,解得t=6,即t=6时,M,N两点重合,
(2)①
∵AM=t,AN=6−2t,∠A=60°,
∴如图
(1),当AM=AN时，△AMN是等边三角形,
∴t=6−2t,解得t=2,即t=2时,△AMN是等边三角形.②如图
(2),若∠AMN=90°.
∵BN=2t,AM=t,
∴AN=6−2t.
∵∠A=60°,
∴∠ANM=30°,
∴2AM=AN,即2t=6−2t,解得t=$\frac{3}{2}$;如图
(3),若∠ANM=90°,同理得2AN=AM,即2(6−2t)=t,解得t=$\frac{12}{5}$.综上所述，当t为$\frac{3}{2}$或$\frac{12}{5}$时，△AMN是直角三角形.
(3)由
(1)知6秒时M,N两点重合，恰好在点C处.如图
(4),假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM,
∴∠AMN=∠ANM,
∴∠AMC=∠ANB.
∵△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中,{∠AMC=∠ANB,∠C=∠B,AC=AB}
∴△ACM≌△ABN(AAS),
∴CM=BN,
∴t−6=18−2t,解得t=8,符合题意.
∴当点M,N运动8s,即t=8时，能得到以MN为底的等腰三角形.