《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24.(12分)中考新考法 动点探究 如图,等腰三角形ABC的底边长为8 cm,腰长为5 cm.
(1)求边BC上的高线AD的长.
(2)一动点P在底边上从B向C以0.25 cm/s的速度移动,请你探究：当P运动几秒时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直？

答案：

(1)如图
(1),过点A作AD⊥BC与BC交于点D.
∵AB=AC=5 cm,BC=8 cm,
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=4 cm,
∴AD²=AB²-BD²=5²-4²=9,
∴AD=3 cm.故AD的长为3 cm.
(2)分两种情况：如图
(1),当点P运动t秒后有PA⊥AC.
∵AP²=PD²+AD²=PC²-AC²,
∴PD²+3²=(PD+4)²-5²,
∴PD=2.25,
∴BP=4-2.25=1.75=0.25t,
∴t=7.如图
(2),当点P运动t'秒后有PA⊥AB,
同理可证得PD=2.25,
∴BP=4+2.25=6.25=0.25t',
∴t'=25.综上所述,当P运动7或25秒时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直.

25.(12分)中考新考法 新定义问题 经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线,若能将此三角形分割成两个等腰三角形,称这个三角形为“钻石三角形”,这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”.例如,如图,在$\triangle ABC$中,点D在AB边上,若$AD= DC= CB$,则称$\triangle ABC$是“钻石三角形”,直线CD是$\triangle ABC$的“钻石分割线”.
(1)已知$Rt\triangle ABC$中,$\angle A= 90^{\circ}$,$\angle B= 60^{\circ}$,则$Rt\triangle ABC$______“钻石三角形”(填“是”或“不是”)；
(2)已知$\triangle ABC$是“钻石三角形”,$\angle A＞\angle B＞\angle C$,直线BD是$\triangle ABC$的“钻石分割线”,探求$\angle ABC与\angle C$之间的关系.

答案：

(1)是
(2)
∵△ABC是钻石三角形,直线BD是钻石分割线,
∴△BCD与△ABD是等腰三角形.
∵BC＞AC＞AB,
∴在△BCD中,BC最大,不可能为腰.
∴CD=BD.设∠C=x,则∠DBC=∠C=x,∠ADB=∠C+∠DBC=2x.在△ABD中,当AB=BD时,如图
(1),
则∠A=∠ADB=2x,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-3x,即3∠C+∠ABC=180°；在△ABD中,当AB=AD时,如图
(2),
则∠C=∠CBD=x,∠ADB=∠ABD=2x,
∴∠ABC=3∠C；在△ABD中,当AD=BD时,如图
(3),
则∠A=∠ABD=(180°-∠ADB)/2=90°-x,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=90°,此时AC是最大边,这与BC是最大边矛盾,
∴不合题意,舍去.综上所述,3∠C+∠ABC=180°或∠ABC=3∠C.