《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

22.(10 分)(2025·重庆江津区期中)周末,小明和小红相约去游乐园,两人从轻轨出口 A 分头行动,小明去售票处 B 购票,然后去游乐园大门 E 处;小红先去小卖部 C 买饮料,然后到存包处 D 存包后再去大门 E 处.如图,已知售票处 B 在轻轨出口 A 的正南方向 240 米处,游乐园大门 E 在轻轨出口 A 的正东方向 450 米处,小卖部 C 在轻轨出口 A 北偏东 30°方向相距 240 米处,存包处 D 在小卖部 C 的正东方向且在大门 E 的正北方向.
(1)求售票处 B 与游乐园大门 E 之间的距离;
(2)若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口 A 出发,不计中途购票及买饮料和存包时间,请判断谁先到达游乐园大门 E,并说明理由.(参考数据:$\sqrt{3}\approx 1.7$)

答案：

(1)由题可知 AB=240 米，AE=450 米，∠BAE=90°，在直角三角形 ABE 中，由勾股定理，得 BE=$\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{240^2+450^2}=510$(米)。故售票处 B 与游乐园大门 E 之间的距离为 510 米。
(2)小明先到达游乐园大门 E。理由如下：小明走过的路程为 240+510=750(米)。如图，过点 C 作 CF⊥BA 于点 F。

易得 DF=AE=450 米，AF=DE。
∵AC=240 米，∠CAF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}AC=120$米。在直角三角形 ACF 中，由勾股定理，得 AF=$\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{240^2-120^2}=120\sqrt{3}$(米)，
∴CD=DF - CF=450 - 120=330(米)，AF=DE=$120\sqrt{3}$米，
∴小红走过的路程为：AC+CD+DE=240+330+$120\sqrt{3}\approx774$(米)＞750 米。
∵两人速度相同，
∴小明先到达游乐园大门 E。

23.(10 分)(2024·湖南长沙期中)如图,在笔直的公路 AB 旁有一座山,为方便运输货物,现要从公路 AB 上的 D 处开凿隧道修通一条公路到 C 处,已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 15 km,与公路上另一停靠站 B 的距离为 20 km,停靠站 A,B 之间的距离为 25 km,且 CD⊥AB.
(1)求修建的公路 CD 的长.
(2)公路 CD 修通后,一辆货车从 C 处经过 D 处到 B 处的路程是多少?

答案：
(1)
∵AC=15 km，BC=20 km，AB=25 km，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}=\frac{15×20}{25}=12$(km)。根据面积不变求高，故修建的公路 CD 的长是 12 km。
(2)在 Rt△BDC 中，BD²=BC² - CD²=256，
∴BD=16 km。
∴一辆货车从 C 处经过 D 处到 B 处的路程=CD+BD=12+16=28(km)。故一辆货车从 C 处经过 D 处到 B 处的路程是 28 km。

24.(12 分)中考新考法 操作探究 (2025·扬州江都区期中)[背景介绍]勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在 1994 年构造发现了一个新的证法.
[小试牛刀]把两个全等的直角三角形如图(1)放置,其三边长分别为 a,b,c.显然,$\angle DAB= \angle B= 90^\circ$,AC⊥DE.请用 a,b,c 分别表示出梯形 ABCD,△EBC,四边形 AECD 的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
$S_{梯形ABCD}= $______,$S_{\triangle EBC}= $______,$S_{四边形AECD}= $______,则它们满足的关系式为______.经化简,可得到勾股定理.
[知识运用]
(1)如图(2),铁路上 A,B 两点(看作直线上的两点)相距 40 千米,C,D 为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为 A,B,AD= 25 千米,BC= 16 千米,则两个村庄的距离为______千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若 AB= 40 千米,AD= 24 千米,BC= 16 千米,要在 AB 上建造一个供应站 P,使得 PC= PD,请用尺规作图在图(2)中作出 P 点的位置并求出 AP 的长度.
[知识迁移]借助上面的思考过程与几何模型,求代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16-x)^2+81}$的最小值($0＜x＜16$).

答案：
[小试牛刀]$S_{梯形ABCD}=$$\frac{1}{2}a(a+b)$,$S_{\triangle EBC}=$$\frac{1}{2}b(a - b)$,$S_{四边形AECD}=$$\frac{1}{2}c^2$,则它们满足的关系式为$\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}b(a - b)+\frac{1}{2}c^2$。经化简，可得到勾股定理。[知识运用]
(1)41
(2)如图
(1)所示。

设 AP=x 千米，则 BP=(40 - x)千米，在 Rt△ADP 中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，在 Rt△BPC 中，CP²=BP²+BC²=(40 - x)²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=(40 - x)²+16²，解得 x=16，即 AP=16 千米。[知识迁移]如图
(2)。

代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(16 - x)^2+81}$的最小值为可以看成线段 CP+PD 的最小值$\sqrt{(9 + 3)^2+16^2}=20$。