《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

13. (2024·四川巴中期末)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离AB长度为1尺.将它往前水平推送10尺,即A'C= 10尺,则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高.若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直,则绳索OA的长为______尺.

14.5

答案： 14.5　[解析]设秋千的绳索长为x尺，
　　由题意知，$OC=x-(5-1)=(x-4)$尺，$CA'=10$尺，$OA'=x$尺.
　　在$Rt\triangle OCA'$中，$OC^{2}+CA'^{2}=OA'^{2}$，
∴$(x-4)^{2}+10^{2}=x^{2}$，解得$x=14.5$.
　　故绳索OA的长为14.5尺.

14. (2025·信阳模拟)剪纸龙、泥塑龙、龙雕刻、龙绣等具有龙元素的工艺品深受人们的喜爱.某商场决定购进一批剪纸龙和泥塑龙进行销售,已知每套泥塑龙的价格是每套剪纸龙价格的2倍,购进5套泥塑龙和10套剪纸龙共花费600元.
(1)求商场购进每套泥塑龙和剪纸龙的价格.
(2)该商场购进泥塑龙和剪纸龙之后重新定价销售,每套剪纸龙的售价为50元,每套泥塑龙的售价为90元,现商场决定花费1500元(恰好用完)购买泥塑龙和剪纸龙若干套,且购买剪纸龙的数量不超过泥塑龙数量的一半,则如何安排进货才能使商场获得最大利润,最大利润是多少？

答案：
(1)设每套剪纸龙的价格是x元，则每套泥塑龙的价格是2x元.
　　根据题意，得$5×2x+10x=600$，解得$x=30$.
　　$2×30=60$(元).
　　每套泥塑龙的价格是60元，每套剪纸龙的价格是30元.
(2)设购进泥塑龙m套，则购进剪纸龙$\frac{1500-60m}{30}=(50-2m)$套.
　　根据题意，得$50-2m\leq\frac{1}{2}m$，解得$m\geq20$.
∵$50-2m\geq0$，
∴$m\leq25$，
∴$20\leq m\leq25$.
　　设总利润为W元，则$W=(90-60)m+(50-30)(50-2m)=-10m+1000$.
∵$-10＜0$，
∴W随m的减小而增大.
∵$20\leq m\leq25$，
∴当$m=20$时，W值最大，$W_{最大}=-10×20+1000=800$，$50-2×20=10$(套).
　　故购进泥塑龙20套、剪纸龙10套才能使商场获得最大利润，最大利润是800元.