《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

27. (8分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y= kx+4(k＜0)$与y轴相交于点A,与x轴相交于点B,且与直线$l_2:y= x$相交于点C.点P在直线$l_1$上运动(不与点C重合),过点P作x轴的平行线,与直线$l_2$相交于点Q,连接OP,AQ,记$\triangle OCP的面积为S_1$,$\triangle ACQ的面积为S_2$.
(1)若点C的横坐标为1.
①求k的值.
②当点P在线段AC上时,试探究:$\frac{S_1}{S_2}$的值是否是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2)当$\frac{S_1}{S_2}= \frac{1}{2}$,且$OP= OQ$时,线段PQ的长为______.

答案：

(1)①
∵点 C 的横坐标为 1,且点 C 是直线 l₁ 与直线 l₂ 的交点,
∴点 C 的纵坐标为 y=x=1.把点 C 的坐标(1,1)代入 y=kx+4,可得 k+4=1,解得 k=-3.
②$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值,这个定值为$\frac{1}{3}$.理由如下:
由①可知,直线 l₁ 的表达式为 y=-3x+4,当 x=0 时,可得 y=-3x+4=4,
∴点 A 的坐标为(0,4),
∴OA=4.
设点 P 坐标为$(x_{p},-3x_{p}+4)$,
点 Q 的坐标为$(-3x_{p}+4,-3x_{p}+4)$,
→点 Q 与点 P 的纵坐标相同
∴PQ=-3xₚ+4-xₚ=-4xₚ+4,
∴$S_{1}=S_{\triangle OCA}-S_{\triangle OPA}=\frac{1}{2}OA·|x_{c}|-\frac{1}{2}OA·|x_{p}|=\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×4×x_{p}=2(1-x_{p})$,$S_{2}=S_{\triangle AOQ}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}AO·|x_{Q}|-\frac{1}{2}AO·|x_{C}|=\frac{1}{2}×4×(-3x_{p}+4)-\frac{1}{2}×4×1=6(1-x_{p})$,
∴$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{2(1-x_{p})}{6(1-x_{p})}=\frac{1}{3}$.故$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值是定值,这个定值为$\frac{1}{3}$.
(2)8 [解析]
∵PQ//x 轴,且 OP=OQ,则 y 轴是 PQ 的垂直平分线,
∴点 P 在点 A 的左侧或点 P 在点 C 的右侧.
设 P 点的坐标为(x,kx+4),则点 Q 的坐标为(-x,-x),
∴kx+4=-x,解得$x=\frac{-4}{1+k}$,
∴P 点的坐标为$(\frac{-4}{1+k},\frac{4}{1+k})$,则点 Q 的坐标为$(\frac{4}{1+k},\frac{4}{1+k})$,解方程组$\begin{cases} y=kx+4, \\ y=x, \end{cases}$得$\begin{cases} x=\frac{4}{1-k}, \\ y=\frac{4}{1-k}, \end{cases}$
∴点 C 的坐标为$(\frac{4}{1-k},\frac{4}{1-k})$.当点 P 在点 A 的左侧时,如图
(1)所示,

∴$S_{1}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}OA·|x_{p}|+\frac{1}{2}OA·|x_{c}|=\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1+k}|+\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1-k}|=|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|$,$S_{2}=S_{\triangle OAQ}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1+k}|-\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1-k}|=|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|$.
∵$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{2}$,
∴$2(|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|)=|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|$,
整理,得$\frac{3}{|1-k|}=-\frac{1}{|1+k|}$(不成立);
当点 P 在点 C 的右侧时,如图
(2)所示,
∴$S_{1}=S_{\triangle OPA}-S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1+k}|-\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1-k}|=|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|$,$S_{2}=S_{\triangle OAQ}+S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1+k}|+\frac{1}{2}×4×|\frac{4}{1-k}|=|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|$.
∵$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{2}$,
∴$2(|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|)=|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|$,整理,得$\frac{3}{|1-k|}=\frac{1}{|1+k|}$,解得$k=-\frac{1}{2}$或k=-2,经检验$k=-\frac{1}{2}$和 k=-2 是分式方程的根.
当 k=-2 时,$S_{1}=|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$,$S_{2}=|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|=8+\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$,满足$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{2}$,
∴点P 的坐标为(4,-4),点 Q 的坐标为(-4,-4),
∴PQ=4-(-4)=8;当$k=-\frac{1}{2}$时,$S_{1}=|\frac{8}{1+k}|-|\frac{8}{1-k}|=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$,$S_{2}=|\frac{8}{1+k}|+|\frac{8}{1-k}|=16+\frac{16}{3}=\frac{64}{3}$,满足$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{1}{2}$,此时$\frac{-4}{1+k}=\frac{-4}{1+(-\frac{1}{2})}=-8$,$\frac{4}{1+k}=8$,
∴点 P 的坐标为(-8,8),不符合题意.故线段PQ 的长度为 8.
方法诠释 割补法是一种解题方法,用于几何题之中.割法就是把图形割成几个规则图形,使题目便于解答;补法就是把图形补成一个规则图形,使题目便于解答.