《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

17.(2024·泰州泰兴三模)在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}= mx+2m-1(m≠0)$,$y_{2}= a(x-3)+1(a≠0)$,无论x取何值,始终有$y_{1}＞y_{2}$,则m的取值范围是$m ＞ \frac{2}{5}$.

答案： 解：由题意得，$y_{1} - y_{2} ＞ 0$对任意$x$恒成立，即：
$\begin{aligned}mx + 2m - 1 - [a(x - 3) + 1] &＞ 0\\mx + 2m - 1 - ax + 3a - 1 &＞ 0\\(m - a)x + (2m + 3a - 2) &＞ 0\end{aligned}$
因为无论$x$取何值，上式恒成立，所以需满足：
1. 一次项系数为$0$：$m - a = 0$，即$a = m$；
2. 常数项大于$0$：$2m + 3a - 2 ＞ 0$。
将$a = m$代入常数项不等式：
$2m + 3m - 2 ＞ 0 \implies 5m - 2 ＞ 0 \implies m ＞ \frac{2}{5}$
故$m$的取值范围是$m ＞ \frac{2}{5}$。
答案：$m ＞ \frac{2}{5}$

18.中考新考法 分类讨论(2024·日照中考)已知一次函数$y_{1}= ax(a≠0)和y_{2}= \frac{1}{2}x+1$,当$x≤1$时,函数$y_{2}的图象在函数y_{1}$的图象上方,则a的取值范围为$\frac{1}{2} \leq a ＜ \frac{3}{2}$.

答案： 解：当$x \leq 1$时，$y_{2} ＞ y_{1}$，即$\frac{1}{2}x + 1 ＞ ax$，整理得$(a - \frac{1}{2})x ＜ 1$。
情况1：当$a - \frac{1}{2} ＞ 0$，即$a ＞ \frac{1}{2}$时
不等式解集为$x ＜ \frac{1}{a - \frac{1}{2}}$。
由题意$x \leq 1$恒成立，需$\frac{1}{a - \frac{1}{2}} ＞ 1$，解得$\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{3}{2}$。
情况2：当$a - \frac{1}{2} = 0$，即$a = \frac{1}{2}$时
不等式化为$0 ＜ 1$，恒成立，满足条件。
情况3：当$a - \frac{1}{2} ＜ 0$，即$a ＜ \frac{1}{2}$时
不等式解集为$x ＞ \frac{1}{a - \frac{1}{2}}$。
由题意$x \leq 1$恒成立，需$\frac{1}{a - \frac{1}{2}} \leq 1$，解得$a \geq \frac{3}{2}$，与$a ＜ \frac{1}{2}$矛盾，无解。
综上，$a$的取值范围为$\frac{1}{2} \leq a ＜ \frac{3}{2}$。
答案：$\frac{1}{2} \leq a ＜ \frac{3}{2}$

19.(8分)(2024·长春朝阳区模拟)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.
(1)求当$x＞18$时,y关于x的函数表达式.
(2)若小敏家某月交水费81元,则这个月用水量为多少立方米？

答案： 【解析】：
(1) 首先，我们需要确定当$x ＞ 18$时，$y$关于$x$的函数表达式。
观察图像，当$x = 18$时，$y = 45$；当$x = 28$时，$y = 75$。
设$y = kx + b$（其中$k \neq 0$），我们可以利用这两点来求解$k$和$b$。
将点$(18, 45)$和$(28, 75)$代入$y = kx + b$，得到方程组：
$\begin{cases}18k + b = 45, \\28k + b = 75.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第二个方程中减去第一个方程，得：
$10k = 30 \implies k = 3$，
将$k = 3$代入第一个方程，得：
$18 × 3 + b = 45 \implies b = -9$，
所以，当$x ＞ 18$时，$y$关于$x$的函数表达式为$y = 3x - 9$。
(2) 接下来，我们需要找出小敏家某月交水费81元时，这个月的用水量。
将$y = 81$代入$y = 3x - 9$，得到方程：
$3x - 9 = 81$，
解这个方程，得到：
$3x = 90 \implies x = 30$。
所以，小敏家这个月用水量为30立方米。
【答案】：
(1) $y = 3x - 9$
(2) 30立方米

20.(8分)新情境 分段计费 某市为了鼓励居民节约用水,采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过$20\ m^{3}$时,按2.5元/$m^{3}$计费；月用水量超过$20\ m^{3}$时,其中$20\ m^{3}$仍按2.5元/$m^{3}$收费,超过部分按3.2元/$m^{3}$计费,设每户家庭月用水量为$x\ m^{3}$时,应缴水费y元.
(1)分别写出$0＜x≤20和x＞20$时,y与x的函数表达式.
(2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下：
 

小明家第二季度共用水多少立方米？

答案：
(1)当$0 ＜ x \leq 20$时，$y = 2.5x$；当$x ＞ 20$时，$y = 2.5×20 + 3.2(x - 20) = 50 + 3.2x - 64 = 3.2x - 14$。
(2)四月份：$2.5x = 40$，解得$x = 16$；五月份：$2.5x = 45$，解得$x = 18$；六月份：$3.2x - 14 = 56.4$，$3.2x = 70.4$，解得$x = 22$。第二季度共用水：$16 + 18 + 22 = 56$（立方米）。
答：小明家第二季度共用水$56$立方米。