《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26.(14分)中考新考法 新定义问题 定义:若实数 x,y,x',y'满足 x= kx'+3,y= ky'+3(k 为常数,k≠0),则在平面直角坐标系 xOy 中,称点(x,y)是点(x',y')的"k 值关联点".例如,点(7,-5)是点(1,-2)的"4 值关联点".
(1)判断在 A(2,3),B(2,4)两点中,哪个是 P(1,-1)的"k 值关联点";
(2)设两个不相等的非零实数 m,n 满足点$ E(m^2+mn,2n^2)$是点 F(m,n)的"k 值关联点",求点 F 到原点 O 的距离的最小值.

答案：
(1)若A(2,3)是P(1,−1)的“k值关联点”，则k+3=2，解得k=−1；−k+3=3，解得k=0。
∵k的值前后矛盾，
∴A(2,3)不是P(1,−1)的“k值关联点”。若B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”，则k+3=2，解得k=−1；−k+3=4，解得k=−1。
∵k值符合题意，
∴B(2,4)是P(1,−1)的“k值关联点”。
(2)由题意，得{m²+mn=km+3，2n²=kn+3}，整理，得{m²n+mn²=kmn+3n，2mn²=kmn+3m}，
∴m²n+mn²−3n=2mn²−3m，
∴mn(m−n)+3(m−n)=0，
∴(m−n)(mn+3)=0。
∵m≠n，
∴mn+3=0，即mn=−3。
∵点F(m,n)到原点O的距离为√(m²+n²)，且(m+n)²≥0，
∴m²+n²+2mn≥0，
∴m²+n²≥−2mn，而−2mn=−2×(−3)=6，
∴m²+n²≥6。即点F到原点O的距离的最小值为√6。