《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

22. (10分)中考新考法 过程纠错改错 (2023·南通中考)如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC= ∠AEB= 90°,BE,CD相交于点O,OB= OC. 求证:∠1= ∠2.

小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC= ∠AEB= 90°,
∴∠DOB+∠B= ∠EOC+∠C= 90°.
∵∠DOB= ∠EOC,
∴∠B= ∠C. ……第一步
又OA= OA,OB= OC,
∴△ABO≌△ACO,……第二步
∴∠1= ∠2.……第三步

(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDO=∠CEO=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,{∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,OB=OC}
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,{OD=OE,OA=OA}
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.

答案：
(1)二
(2)
∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDO=∠CEO=180°−90°=90°.在△DOB和△EOC中,{∠BDO=∠CEO,∠DOB=∠EOC,OB=OC}
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE.在Rt△ADO和Rt△AEO中,{OD=OE,OA=OA}
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.

23. (10分)(2025·南通通州区期中)如图,△ABC中,AB= AC,D是边AB上一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,交CA的延长线于点F.
(1)求证:AD= AF;
(2)若∠B= 2∠F,BE= 2,CF= 16,求BC的长.

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,
∴∠FEC=∠DEB=90°,
∴∠C+∠F=90°,∠B+∠BDE=90°,
∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,
∴∠ADF=∠F,
∴AF=AD.
(2)
∵∠B=2∠F,∠B=∠C,
∴∠C=2∠F.
∵∠C+∠F=90°,
∴∠F=30°.
∵∠FEC=90°,CF=16,
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=8.
∵BE=2,
∴BC=BE+CE=8+2=10.