《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

18. 定理证明：
(1)结合图(1),写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；
定理应用：
(2)如图(2),在△ABC中,直线m,n分别是边BC,AC的垂直平分线,直线m,n交于点O,过点O作OH⊥AB于点H.求证：AH= BH；
(3)如图(3),在△ABC中,AB= BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E.若∠ABC= 120°,AC= 9,求DE的值.

答案：

(1)
∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°。
　　在△PAC和△PBC中，{AC=BC，∠PCA=∠PCB，PC=PC}，
∴△PAC≌△PBC(SAS)，
∴PA=PB。
(2)如图
(1)，连接OA，OB，OC。
∵直线m是边BC的垂直平分线，
∴OB=OC。
∵直线n是边AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∴OA=OB。
∵OH⊥AB，
∴AH=BH。
　　
(3)如图
(2)，连接BD，BE。
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°。
∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，
∴DA=DB，EB=EC，
∴∠A=∠DBA=30°，∠C=∠EBC=30°，
∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°，∠BED=∠C+∠EBC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴AD=BD=DE=BE=EC。
∵AC=9=AD+DE+EC=3DE，
∴DE=3。

19. (2024·黑龙江中考)甲、乙两货车分别从相距225 km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是30km/h,乙货车的速度是40km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式；
∵3.5+0.5=4(h)，6−0.5=5.5(h)，
∴点E(4，105)，F(5.5，225)。
设线段对应的函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，且k ≠0)。将E(4，105)和F(5.5，225)分别代入y=kx+b，得{4k + b = 105，5.5k + b = 225}，解得{k = 80，b = -215}，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y=80x−215(4≤x≤5.5)。
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
3/2 h或45/14 h或5 h

答案：
(1)30　40
(2)
∵3.5+0.5=4(h)，6−0.5=5.5(h)，
∴点E(4，105)，F(5.5，225)。
　　设线段对应的函数表达式为y=kx+b(k，b为常数，且k ≠0)。将E(4，105)和F(5.5，225)分别代入y=kx+b，得{4k + b = 105，5.5k + b = 225}，解得{k = 80，b = -215}，
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y=80x−215(4≤x≤5.5)。
(3)线段CM对应的函数表达式为y=225−40x=−40x+225(0≤x≤3)，
　　线段MN对应的函数表达式为y=105+40(x−3)=40x−15(3＜x≤6)，
　　线段OD对应的函数表达式为y=30x(0≤x≤3.5)。分三种情况：
　　当0≤x≤3时，甲货车离配货站的距离为(105−30x)km，乙货车离配货站的距离为−40x+225−105=(−40x+120)km。
　　根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105−30x=−40x+120，解得x=3/2；
　　当3＜x≤3.5时，甲货车离配货站的距离为(105−30x)km，乙货车离配货站的距离为40x−15−105=(40x−120)km。
　　根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得105−30x=40x−120，解得x=45/14；
　　当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与A地距离相等”，得80x−215=40x−15，解得x=5。
　　故出发3/2 h或45/14 h或5 h，甲、乙两货车与配货站的距离相等。