《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

24.(12 分)如图,在△ABC中,已知AB= BC= 8 cm,∠ABC= 90°,点E在AB上,ED⊥AC于点D,M为EC的中点.
(1)试判断BM和DM有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由；
(2)当AE= 2 cm时,△BMD的面积是______$\frac{25}{2}cm^{2}$.

答案：
(1)$BM = DM$,$BM⊥DM$.理由如下:$\because ∠ABC = 90^{\circ }$,$DE⊥AC$,M 为 EC 的中点,$AB = BC$,$\therefore BM=\frac{1}{2}CE = CM$,$DM=\frac{1}{2}CE = CM$,$∠BAC = ∠ACB = 45^{\circ }$,$\therefore BM = DM$,$∠MBC = ∠MCB$,$∠MDC = ∠MCD$.$\because ∠BME = ∠MBC + ∠MCB$,$∠DME = ∠MDC + ∠MCD$,$∠MCB + ∠MCD = ∠ACB = 45^{\circ }$,$\therefore ∠BMD = ∠BME + ∠DME = 45^{\circ }+45^{\circ }= 90^{\circ }$,$\therefore BM⊥DM$.
(2)$\frac{25}{2}cm^{2}$ [解析]$\because AE = 2cm$,$AB = BC = 8cm$,$\therefore BE = AB - AE = 6cm$.在$Rt△BCE$中,$CE^{2}=BE^{2}+CB^{2}=6^{2}+8^{2}=100$,$\therefore CE = 10cm$.$\because$M 为 EC 的中点,$\therefore BM=\frac{1}{2}CE = 5cm$.$\because BM = DM$,$BM⊥DM$,$\therefore S_{△BMD}=\frac{1}{2}BM\cdot DM=\frac{1}{2}×5×5=\frac{25}{2}(cm^{2})$.

25.(12 分)中考新考法 动点问题 (2024·陕西西安未央实验学校月考)如图,已知在四边形ABCD中,AB//CD,BC= AD= 4,AB= CD= 10,∠DCB= 90°,E为CD边上的一点,DE= 7,动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE,设点P运动的时间为t秒.
(1)求BE的长；
(2)若△BPE为直角三角形,求t的值.

答案：
(1)$\because CD = 10$,$DE = 7$,$\therefore CE = 10 - 7 = 3$.在$Rt△CBE$中,$BE^{2}=BC^{2}+CE^{2}=25$,$\therefore BE = 5$.
(2)当$∠BPE = 90^{\circ }$时,$AP = 10 - 3 = 7$,则$t = 7÷1 = 7$.当$∠BEP = 90^{\circ }$时,$BE^{2}+PE^{2}=BP^{2}$,即$5^{2}+4^{2}+(7 - t)^{2}=(10 - t)^{2}$,解得$t=\frac{5}{3}$.$\therefore$当$t = 7$或$\frac{5}{3}$时,$△BPE$为直角三角形.