《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

23.(10分)阅读与思考:
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
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没有直角尺也能作出直角
今天,我在书店一本书上看到下面材料:木工师傅有一块如图(1)所示的四边形木板,他已经在木板上画出一条裁剪线AB,根据木板的情况,要过AB上的一点C,作出AB的垂线,用锯子进行裁剪,然而手头没有直角尺,怎么办呢?
办法一:如图(1),可利用一把有刻度的直尺在AB上量出$CD= 30\ cm$,然后分别以点D,C为圆心,以50cm与40cm为半径画圆弧,两弧相交于点E,作直线CE,则$\angle DCE必为90^{\circ}$.

办法二:如图(2),可以取一根笔直的木棒,用铅笔在木棒上点出M,N两点,然后把木棒斜放在木板上,使点M与点C重合,用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,将木棒绕点N旋转,使点M落在AB上,在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长,在延长线上截取线段$QS= MN$,得到点S,作直线SC,则$\angle RCS= 90^{\circ}$.
我有如下思考:以上两种办法依据的是什么数学原理呢?我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢?
任务:
(1)填空:"办法一"依据的一个数学定理是______;
(2)根据"办法二"的操作过程,证明:$\angle RCS= 90^{\circ}$;
(3)①尺规作图:请在图(3)的木板上过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹,不写作法);
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).

答案：

(1)勾股定理的逆定理 [解析]
∵CD=30 cm,DE=50 cm,CE=40 cm,
∴$CD^2+CE^2=30^2+40^2=50^2=DE^2,$
∴∠DCE=90°.故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理.
(2)由作图方法可知,QR=QS=QC,
∴∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC.
∵∠QRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC=180°,
∴2(∠QCR+∠QCS)=180°,
∴∠QCR+∠QCS=90°,即∠RCS=90°.
(3)①如图所示,直线 PC 即为所求.

②答案不唯一,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.