《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

25.(12 分)中考新考法 解题方法型阅读理解题 (2024·浙江宁波海曙区期末)阅读:如图(1),在△ABC 中,$3\angle A+\angle B= 180^\circ$,BC= 8,AC= 10,求 AB 的长.
小明的思路:如图(2),作 BE⊥AC 于点 E,在 AC 的延长线上取点 D,使得 DE= AE,连接 BD,易得$\angle A= \angle D$,$\triangle ABD$为等腰三角形,由$3\angle A+\angle B= 180^\circ和\angle A+\angle ABC+\angle BCA= 180^\circ$,易得$\angle BCA= 2\angle A$,$\triangle BCD$为等腰三角形,依据已知条件可得 AE 和 AB 的长.
解决下列问题:
(1)图(2)中,AE= ______,AB= ______；
(2)在△ABC 中,$\angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别为 a,b,c.如图(3),当$3\angle A+2\angle B= 180^\circ$时,用含 a,c 式子表示 b.

答案：

(1)9 12
(2)如图，作 BE⊥AC 于点 E，在 AC 的延长线上取点 D，使得 DE=AE，连接 BD，则 BE 是边 AD 的垂直平分线。

∴AB=BD，∠A=∠D。
∵3∠A+2∠ABC=180°，∠A+∠ABC+∠BCA=180°，
∴2∠A+∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC。
∵∠A=∠D，
∴∠A+∠ABC=∠DBC，BD=AB=c，即∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC=c。由题意，得 DE=AE=$\frac{b + c}{2}$，
∴EC=AE - AC=$\frac{b + c}{2}-b=\frac{c - b}{2}$。在 Rt△BEC 中，BE²=BC² - EC²，在 Rt△BEA 中，BE²=BA² - EA²，
∴BC² - EC²=BA² - EA²，即 a² - $(\frac{c - b}{2})^2=c^2-(\frac{b + c}{2})^2$，整理，得 b=$\frac{c^2 - a^2}{c}$。