《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

17.(2024·南平顺昌一模)如图,数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为a m,小明同学将整条绳子斜拉直,测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为b m.
(1)小红说测量出的数据b一定大于a,请判断小红的说法是否正确?并说明理由.
(2)求旗杆AB的高度.(结果用含a,b的代数式表示)

答案：
(1)小红的说法正确。理由如下：根据题意，得AB + a = AC。
∵AB + BC＞AC，
∴AB + b＞AB + a，
∴b＞a。故小红的说法正确。
(2)在Rt△ABC中，
∵AC² = AB² + BC²，
∴(AB + a)² = AB² + b²，
∴AB = (b² - a²)÷(2a)。故旗杆AB的长为(b² - a²)÷(2a)m。

18.(2024·山东枣庄薛城区期末)如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上一男子拽着绳子另一端向右走,绳端从点C移动到点E,同时小船从点A移动到点B,绳子始终绷紧且绳长保持不变.
(1)若CF= 7米,AF= 24米,AB= 18米,求男子需向右移动的距离.(结果保留根号)
(2)在(1)的条件下,此人以0.5米每秒的速度收绳,请通过计算回答,该男子能否在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置?

答案：
(1)
∵∠AFC = 90°，AF = 24米，CF = 7米，
∴AC = √(24² + 7²)=25(米)。
∵BF = AF - AB = 24 - 18 = 6(米)，
∴BC = √(CF² + BF²)=√(7² + 6²)=√85(米)，
∴CE = AC - BC = (25 - √85)米。故此人需向右移动的距离为(25 - √85)米。
(2)
∵需收绳的绳长为AC - CF = 25 - 7 = 18(米)，且此人以0.5米每秒的速度收绳，
∴收绳时间为18÷0.5 = 36(s)。
∵36＞30，
∴该男子不能在30秒内将船从A处移动到岸边点F的位置。

19.(2024·兰州中考)[观察发现]劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图(1),他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角,具体作法如下：
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB；
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上)；
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的∠DAC是直角.
[操作体验](1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图(2),BA= BC.请画出以点A为顶点的直角,记作∠DAC；
[推理论证](2)如图(1),小亮尝试揭示此操作的数学原理,请你补全括号里的证明依据：
证明：∵AB= BC= BD,
∴△ABC与△ABD是等腰三角形.∴∠BCA= ∠BAC,∠BDA= ∠BAD.(依据1)
∴∠BCA+∠BDA= ∠BAC+∠BAD= ∠DAC.
∵∠DAC+∠BCA+∠BDA= 180°,(依据2)∴2∠DAC= 180°.∴∠DAC= 90°.
依据1：______；依据2：______；
[拓展探究](3)小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图(3),点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图(3)中作出一个以O为顶点的直角,记作∠POQ,使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：

(1)如图
(1)，∠DAC即为所求。

(2)等边对等角(等腰三角形的性质) 三角形内角和定理
(3)如图
(2)，∠POQ即为所求。