《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

26. (12分)在平面直角坐标系中,一次函数$y= \frac {4}{3}x-4的图象l_{1}$与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,一次函数$y= \frac {5}{12}x+5的图象l_{2}$与 x 轴、y 轴分别交于点 C,D.
(1)填空:点 A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(0,-4);
(2)在 x 轴上是否存在点 P,使得$2∠BPO+∠OBA= 90^{\circ }$?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
在x轴上存在点P，使得2∠BPO + ∠OBA=90°。理由如下：
∵点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,-4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=√(OA² + OB²)=5。
∵2∠BPO + ∠OBA=90°，∠OAB + ∠OBA=90°，
∴∠OAB=2∠BPO，
∴有以下两种情况：①如图
(1)，当点P在点A的右侧时，
∵∠OAB是△BAP的一个外角，
∴∠OAB=∠BPO + ∠ABP，
∴2∠BPO=∠BPO + ∠ABP，
∴∠BPO=∠ABP，
∴AP=AB=5，
∴OP=OA + AP=3 + 5=8，
∴点P的坐标为(8,0)；②如图
(2)，当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，则OE=OA=3，BE=AB=5，∠OEB=∠OAB=2∠BPO。
∵∠OEB是△BPE的一个外角，
∴∠OEB=∠BPO + ∠EBP=2∠BPO，
∴∠BPO=∠EBP，
∴PE=BE=5，
∴OP=OE + PE=3 + 5=8，
∴点P的坐标为(-8,0)。综上所述，点P的坐标为(8,0)或(-8,0)。
(3)点 Q 为平面内一点,且$△CDQ$为等腰直角三角形,请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标.(-5,17)或(5,-7)或(-17,12)或(-7,-12)或(-8.5,8.5)或(-3.5,-3.5)

答案：
(1)(3,0) (0,-4)
(2)在x轴上存在点P，使得2∠BPO + ∠OBA=90°。理由如下：
∵点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,-4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=√(OA² + OB²)=5。
∵2∠BPO + ∠OBA=90°，∠OAB + ∠OBA=90°，
∴∠OAB=2∠BPO，
∴有以下两种情况：①如图
(1)，当点P在点A的右侧时，
∵∠OAB是△BAP的一个外角，
∴∠OAB=∠BPO + ∠ABP，
∴2∠BPO=∠BPO + ∠ABP，
∴∠BPO=∠ABP，
∴AP=AB=5，
∴OP=OA + AP=3 + 5=8，
∴点P的坐标为(8,0)；②如图
(2)，当点P在点A的左侧时，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，则OE=OA=3，BE=AB=5，∠OEB=∠OAB=2∠BPO。
∵∠OEB是△BPE的一个外角，
∴∠OEB=∠BPO + ∠EBP=2∠BPO，
∴∠BPO=∠EBP，
∴PE=BE=5，
∴OP=OE + PE=3 + 5=8，
∴点P的坐标为(-8,0)。综上所述，点P的坐标为(8,0)或(-8,0)。
(3)(-5,17)或(5,-7)或(-17,12)或(-7,-12)或(-8.5,8.5)或(-3.5,-3.5)