《2025年实验班提优大考卷八年级数学上册苏科版》

22.(10分)(中考新考法 探究不同条件下的数量关系)如图,已知在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,点P为BC边上一动点(BP＜CP),分别过点B,C作BE⊥AP于点E,CF⊥AP于点F.
(1)求证：EF= CF-BE.
(2)若点P为BC延长线上一点,其他条件不变,则线段BE,CF,EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

答案：

(1)
∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠E=∠CFA=90°，
∴∠FAC + ∠ACF=90°。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF。
在△ABE和△CAF中，$\left\{ \begin{array}{l} ∠E=∠CFA,\\ ∠BAE=∠ACF,\\ AB=CA,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE=CF，BE=AF。
∵EF=AE - AF，
∴EF=CF - BE。
(2)EF=BE + CF。理由如下：
如图。

∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴∠FAC + ∠ACF=90°。
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF。
在△ABE和△CAF中，$\left\{ \begin{array}{l} ∠E=∠AFC,\\ ∠BAE=∠ACF,\\ AB=CA,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴AE=CF，BE=AF。
∵EF=AE + AF，
∴EF=BE + CF。

23.(10分)(2023·苏州中考)如图,在△ABC中,AB= AC,AD为△ABC的角平分线.以点A圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC= 80°,求∠BDE的度数.

答案：
(1)
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD。由作图，知AE=AF。
在△ADE和△ADF中，$\left\{ \begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠EAD=∠FAD,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADF(SAS)。
(2)
∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°。
又AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=$\frac{1}{2}$×(180° - 40°)=70°。
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90° - ∠ADE=20°。